質數有什么性質

　　質數，是數學王國廣大的天地里的一塊數字領域。一個大于1的自然數，除了1和它自身外，不能被其他自然數整除的數叫做質數。下面就由小編來為大家提供的關于質數的知識，希望大家能喜歡。

　　質數簡介

　　質數(prime number)又稱素數，一個大于1的自然數，除了1和它自身外，不能被其他自然數整除的數叫做質數。例如：7只能被1和7整除，除此之外不能再被其他數字整除，7就是質數。

　　質數性質

　　質數具有許多獨特的性質：

　　(1)質數p的約數只有兩個：1和p。

　　(2)初等數學基本定理：任一大于1的自然數，要么本身是質數，要么可以分解為幾個質數之積，且這種分解是唯一的。

　　(3)質數的個數是無限的。

　　(4)質數的個數公式 是不減函數。

　　(5)若n為大于或等于2的正整數，在n到 之間至少有一個質數。

　　(6)若質數p為不超過n(N大于等于4)的最大質數，則 。

　　(7)所有大于10的質數中，個位數只有1,3,7,9。

　　應用

　　質數被利用在密碼學上，所謂的公鑰就是將想要傳遞的信息在編碼時加入質數，編碼之后傳送給收信人，任何人收到此信息后，若沒有此收信人所擁有的密鑰，則解密的過程中（實為尋找素數的過程），將會因為找質數的過程（分解質因數）過久，使即使取得信息也會無意義。

　　在汽車變速箱齒輪的設計上，相鄰的兩個大小齒輪齒數設計成質數，以增加兩齒輪內兩個相同的齒相遇嚙合次數的最小公倍數，可增強耐用度減少故障。

　　在害蟲的生物生長周期與殺蟲劑使用之間的關系上，殺蟲劑的質數次數的使用也得到了證明。實驗表明，質數次數地使用殺蟲劑是最合理的：都是使用在害蟲繁殖的高潮期，而且害蟲很難產生抗藥性。

　　以質數形式無規律變化的導彈和魚雷可以使敵人不易攔截。

　　多數生物的生命周期也是質數（單位為年），這樣可以最大程度地減少碰見天敵的機會。

　　關于質數的難題

　　1.哥德巴赫猜

　　在1742年給歐拉的信中哥德巴赫提出了以下猜想：任一大于2的整數都可寫成兩個質數之和。因現今數學界已經不使用“1也是素數”這個約定，原初猜想的現代陳述為：任一大于5的整數都可寫成三個質數之和。歐拉在回信中也提出另一等價版本，即任一大于2的偶數想陳述為歐拉的版本。把命題"任一充分大的偶數都可以表示成為一個素因子個數不超過a個的數與另一個素因子不超過b個的數之和"記作"a+b"。1966年陳景潤證明了"1+2"成立，即"任一充分大的偶數都可以表示成二個素數的和，或是一個素數和一個半素數的和"。

　　今日常見的猜想陳述為歐拉的版本，即任一大于2的偶數都可寫成兩個素數之和，亦稱為“強哥德巴赫猜想”或“關于偶數的哥德巴赫猜想”。從關于偶數的哥德巴赫猜想，可推出任一大于7的奇數都可寫成三個質數之和的猜想。后者稱為“弱哥德巴赫猜想”或“關于奇數的哥德巴赫猜想”。若關于偶數的哥德巴赫猜想是對的，則關于奇數的哥德巴赫猜想也會是對的。1937年時前蘇聯數學家維諾格拉多夫已經證明充分大的奇質數都能寫成三個質數的和，也稱為“哥德巴赫-維諾格拉朵夫定理”或“三素數定理”。2013年，秘魯數學家哈拉爾德·赫爾弗戈特在巴黎高等師范學院宣稱：證明了一個“弱哥德巴赫猜想”，即“任何一個大于7的奇數都能被表示成3個奇素數之和”。

　　2.孿生質數

　　1849年，波林那克提出孿生質數猜想，即猜測存在無窮多對孿生質數。猜想中的“孿生質數”是指一對質數，它們之間相差2。例如3和5，5和7，11和13，10,016,957和10,016,959等等都是孿生質數。

　　英國數學家戈弗雷·哈代和約翰·李特爾伍德曾提出一個“強孿生素數猜想”。這一猜想不僅提出孿生素數有無窮多對，而且還給出其漸近分布形式。2013年5月14日，《自然》(Nature)雜志在線報道張益唐證明了“存在無窮多個之差小于7000萬的素數對”，這一研究隨即被認為在孿生素數猜想這一終極數論問題上取得了重大突破，甚至有人認為其對學界的影響將超過陳景潤的“1+2”證明。

　　3.黎曼猜想

　　黎曼猜想是關于黎曼ζ函數ζ(s)的零點分布的猜想，由數學家波恩哈德·黎曼于1859年提出。德國數學家希爾伯特列出23個數學問題。其中第8問題中便有黎曼假設。素數在自然數中的分布并沒有簡單的規律。黎曼發現素數出現的頻率與黎曼ζ函數緊密相關。黎曼猜想提出：黎曼ζ函數ζ(s)非平凡零點(在此情況下是指s不為-2、-4、-6等點的值)的實數部份是1/2。即所有非平凡零點都應該位于直線1/2 + ti(“臨界線”(critical line))上。t為一實數，而i為虛數的基本單位。至今尚無人給出一個令人信服的關于黎曼猜想的合理證明。在黎曼猜想的研究中，數學家們把復平面上 Re(s)=1/2 的直線稱為 critical line。 運用這一術語，黎曼猜想也可以表述為：黎曼函數的所有非平凡零點都位于 critical line 上。

　　黎曼猜想是黎曼在 1859 年提出的。在證明素數定理的過程中，黎曼提出了一個論斷：Zeta函數的零點都在直線Res(s) = 1/2上。他在作了一番努力而未能證明后便放棄了，因為這對他證明素數定理影響不大。但這一問題至今仍然未能解決，甚至于比此假設簡單的猜想也未能獲證。而函數論和解析數論中的很多問題都依賴于黎曼假設。在代數數論中的廣義黎曼假設更是影響深遠。若能證明黎曼假設，則可帶動許多問題的解決。

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