讓靜止的圖形動起來的奧數題

　　以靜變動，讓靜止的圖形動起來，這是一種動態的思想方法，這種思想方法在求解幾何圖形面積時是常常用到的。現舉例如下：

　　一、旋轉的思想方法

　　將所給圖形中的某一部分繞一個固定點旋轉一定（或適當）的角度，變為較明顯的簡單而又直觀的圖形。

　　例1 如圖1中的兩個三角形都是正三角形，大三角形的面積是小三角形面積的多少倍？

　　分析與解 觀察圖1可見，只需將小三角形繞圓心旋轉60°，得到如圖2所示的圖形。小三角形將大三角形分別割成面積相等的四塊。因此大三角形的面積是小三角形面積的4倍。

　　例2 求圖3中陰影部分的面積。（π取3）（單位：厘米）

　　分析與解 觀察圖3發現，只要將圖中右邊的陰影部分繞圓心逆時針方向旋轉90°就得到圖4所示的形狀。所求的陰影部分的面積就是大扇形的面積與空白部分（三角形）面積的差。即

　　二、移動的思想方法

　　1.點的移動：將圖中的某一點看作一個“動點”沿直線移動，使原來分著的空白部分合并在一起變成一個簡單明了的圖形。

　　例3 如圖5,已知長方形的長是8厘米，寬是4厘米，圖中陰影部分面積是10平方厘米，求OD長多少厘米？

　　分析與解 觀察圖5,把圖中的陰影部分看作兩個三角形（即△ABO和△CBO），將這兩個三角形中的A點和C點分別看作“動點”平移到如圖6所示的A‘點和C’點（等底等高，面積相等），等積變形為一個簡單的三角形A'C'O.因為陰影部分面積是10平方厘米，A'C‘的長為4厘米，所以OB的長度為（10×2÷4=）5（厘米），因此OD的長度是（8-5=）3（厘米）。

　　2.面的移動：將所給圖形中的某個圖形沿直線上下左右移動，把復雜的圖形轉化成簡單的圖形，使原來面積不等變成相等。

　　例4 有紅、黃、綠三塊大小一樣的正方形紙片，放在一個正方形盒內，它們之間互相疊合（如圖7），已知露在外面的部分中，紅色面積是20,黃色面積為14,綠色面積是10,那么正方形盒子的面積是多少？

　　分析與解 根據題目的條件，觀察圖7,發現黃色正方形沿著正方形盒子的邊線慢慢向左平移，黃色紙片的小部分逐漸被紅色紙片所蓋沒，綠色紙片卻逐漸在增加，黃色紙片蓋住的部分就是綠色紙片增加的部分。直移到紅色與黃色兩紙片下上對齊。此時綠色紙片也暴露到了最大的程度（如圖8），而且黃色紙片與綠色紙片的面積是相等的。即黃色和綠色的面積都為（（10+14）÷2=）12.我們把留出的空白部分假設為白色，從圖中可看出，紅、黃兩紙片有一邊相同，綠、白兩紙片也有一邊相同，所以它們各自面積之比等于相應邊長的比。便有：

　　因此，所求正方形盒子的面積為

　　20+12+12+7.2=51.2

　　三、翻折的思想方法

　　將所給圖形的某一部分以某一直線為對稱軸翻折，使原來復雜的圖形變為直觀圖形。

　　例5 如圖9,長方形的長是8,寬是6,A和B是寬的中點，求長方形內陰影部分的面積。

　　分析與解 觀察圖9,根據題目的條件可知直線AB將原大長方形分成大小一樣的兩個小長方形。只需把下面的小長方形以直線AB為對稱軸向上翻折，就把下面長方形內的陰影部分合并到如圖10所示的上面的長方形中。我們知道陰影部分的面積就是小長方形面積的一半，即所求陰影部分的面積為

　　8×（6÷2）÷2=12.

　　例6 在圖11中，圓的半徑為r,求陰影部分的面積。

　　分析與解 以圖11中的水平直徑作為對稱軸，將上半部分往下翻折，使陰影部分拼合成兩個三角形（如圖12）。可以看出，所求的陰影部分面積等于梯形面積與空白部分（即三角形面積）的差。所以

　　陰影部分面積=（2r+4r）×r÷2-2r×r÷2=2r2.

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