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導數(shù)基本知識點總結(jié)
上學期間，大家最不陌生的就是知識點吧！知識點也不一定都是文字，數(shù)學的知識點除了定義，同樣重要的公式也可以理解為知識點。為了幫助大家更高效的學習，下面是小編為大家整理的導數(shù)基本知識點總結(jié)，歡迎閱讀，希望大家能夠喜歡。
導數(shù)基本知識點總結(jié)1
一、函數(shù)的單調(diào)性
在(a，b)內(nèi)可導函數(shù)f(x)，f′(x)在(a，b)任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于0.
f′(x)≥0f(x)在(a，b)上為增函數(shù).
f′(x)≤0f(x)在(a，b)上為減函數(shù).
二、函數(shù)的極值
1、函數(shù)的極小值：
函數(shù)y=f(x)在點x=a的函數(shù)值f(a)比它在點x=a附近其它點的函數(shù)值都小，f′(a)=0，而且在點x=a附近的左側(cè)f′(x)<0，右側(cè)f′(x)>0，則點a叫做函數(shù)y=f(x)的極小值點，f(a)叫做函數(shù)y=f(x)的極小值.
2、函數(shù)的極大值：
函數(shù)y=f(x)在點x=b的函數(shù)值f(b)比它在點x=b附近的其他點的函數(shù)值都大，f′(b)=0，而且在點x=b附近的左側(cè)f′(x)>0，右側(cè)f′(x)<0，則點b叫做函數(shù)y=f(x)的極大值點，f(b)叫做函數(shù)y=f(x)的極大值.
極小值點，極大值點統(tǒng)稱為極值點，極大值和極小值統(tǒng)稱為極值.
三、函數(shù)的最值
1、在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f(x)在[a，b]上必有最大值與最小值.
2、若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞增，則f(a)為函數(shù)的最小值，f(b)為函數(shù)的最大值；若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞減，則f(a)為函數(shù)的最大值，f(b)為函數(shù)的最小值.
四、求可導函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟和方法
1、確定函數(shù)f(x)的定義域；
2、求f′(x)，令f′(x)=0，求出它在定義域內(nèi)的一切實數(shù)根；
3、把函數(shù)f(x)的間斷點(即f(x)的無定義點)的橫坐標和上面的各實數(shù)根按由小到大的順序排列起來，然后用這些點把函數(shù)f(x)的定義區(qū)間分成若干個小區(qū)間；
4、確定f′(x)在各個開區(qū)間內(nèi)的符號，根據(jù)f′(x)的符號判定函數(shù)f(x)在每個相應小開區(qū)間內(nèi)的增減性.
五、求函數(shù)極值的步驟
1、確定函數(shù)的定義域；
2、求方程f′(x)=0的根；
3、用方程f′(x)=0的根順次將函數(shù)的定義域分成若干個小開區(qū)間，并形成表格；
4、由f′(x)=0根的.兩側(cè)導數(shù)的符號來判斷f′(x)在這個根處取極值的情況.
六、求函數(shù)f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步驟
1、求函數(shù)在(a，b)內(nèi)的極值；
2、求函數(shù)在區(qū)間端點的函數(shù)值f(a)，f(b)；
3、將函數(shù)f(x)的各極值與f(a)，f(b)比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值.
特別提醒：
1、f′(x)>0與f(x)為增函數(shù)的關(guān)系：f′(x)>0能推出f(x)為增函數(shù)，但反之不一定.如函數(shù)f(x)=x3在(-∞，+∞)上單調(diào)遞增，但f′(x)≥0，所以f′(x)>0是f(x)為增函數(shù)的充分不必要條件.
2、可導函數(shù)的極值點必須是導數(shù)為0的點，但導數(shù)為0的點不一定是極值點，即f′(x0)=0是可導函數(shù)f(x)在x=x0處取得極值的必要不充分條件.例如函數(shù)y=x3在x=0處有y′|x=0=0，但x=0不是極值點.此外，函數(shù)不可導的點也可能是函數(shù)的極值點.
3、可導函數(shù)的極值表示函數(shù)在一點附近的情況，是在局部對函數(shù)值的比較；函數(shù)的最值是表示函數(shù)在一個區(qū)間上的情況，是對函數(shù)在整個區(qū)間上的函數(shù)值的比較。
導數(shù)基本知識點總結(jié)2
一、早期導數(shù)概念
特殊的形式大約在1629年法國數(shù)學家費馬研究了作曲線的切線和求函數(shù)極值的方法1637年左右他寫一篇手稿《求最大值與最小值的方法》。在作切線時他構(gòu)造了差分f(A+E)-f(A),發(fā)現(xiàn)的因子E就是我們所說的導數(shù)f(A)。
二、17世紀廣泛使用的“流數(shù)術(shù)”17世紀生產(chǎn)力的發(fā)展推動了自然科學和技術(shù)的發(fā)展在前人創(chuàng)造性研究的`基礎(chǔ)上大數(shù)學家牛頓、萊布尼茨等從不同的角度開始系統(tǒng)地研究微積分。牛頓的微積分理論被稱為“流數(shù)術(shù)”他稱變量為流量稱變量的變化率為流數(shù)相當于我們所說的導數(shù)。牛頓的有關(guān)“流數(shù)術(shù)”的主要著作是《求曲邊形面積》、《運用無窮多項方程的計算法》和《流數(shù)術(shù)和無窮級數(shù)》流數(shù)理論的實質(zhì)概括為他的重點在于一個變量的函數(shù)而不在于多變量的方程在于自變量的變化與函數(shù)的變化的比的構(gòu)成最在于決定這個比當變化趨于零時的極限。
三、19世紀導數(shù)逐漸成熟的理論1750年達朗貝爾在為法國科學家院出版的《百科全書》第五版寫的“微分”條目中提出了關(guān)于導數(shù)的一種觀點可以用現(xiàn)代符號簡單表示{dy/dx)=lim(oy/ox)。1823年柯西在他的《無窮小分析概論》中定義導數(shù)如果函數(shù)y=f(x)在變量x的兩個給定的界限之間保持連續(xù)并且我們?yōu)檫@樣的變量指定一個包含在這兩個不同界限之間的值那么是使變量得到一個無窮小增量。19世紀60年代以后魏爾斯特拉斯創(chuàng)造了ε-δ語言對微積分中出現(xiàn)的各種類型的極限重加表達導數(shù)的定義也就獲得了今天常見的形式。
四、實無限將異軍突起微積分第二輪初等化或成為可能 微積分學理論基礎(chǔ)大體可以分為兩個部分。一個是實無限理論即無限是一個具體的東西一種真實的存在另一種是潛無限指一種意識形態(tài)上的過程比如無限接近。就歷史來看兩種理論都有一定的道理。其中實無限用了150年后來極限論就是現(xiàn)在所使用的。光是電磁波還是粒子是一個物理學長期爭論的問題后來由波粒二象性來統(tǒng)一。微積分無論是用現(xiàn)代極限論還是150年前的理論都不是最好的手段。
導數(shù)基本知識點總結(jié)3
1. 求函數(shù)的單調(diào)性：
利用導數(shù)求函數(shù)單調(diào)性的基本方法：設函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導：
(1)如果恒f(x)0，則函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a,b)上為增函數(shù)；
(2)如果恒f(x)0，則函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a,b)上為減函數(shù)；
(3)如果恒f(x)0，則函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a,b)上為常數(shù)函數(shù)。
利用導數(shù)求函數(shù)單調(diào)性的基本步驟：
①求函數(shù)yf(x)的定義域；
②求導數(shù)f(x)；
③解不等式f(x)0，解集在定義域內(nèi)的不間斷區(qū)間為增區(qū)間；
④解不等式f(x)0，解集在定義域內(nèi)的不間斷區(qū)間為減區(qū)間。
反過來, 也可以利用導數(shù)由函數(shù)的單調(diào)性解決相關(guān)問題(如確定參數(shù)的取值范圍)： 設函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導：
(1)如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a,b)上為增函數(shù),則f(x)0(其中使f(x)0的x值不構(gòu)成區(qū)間)；
(2) 如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a,b)上為減函數(shù),則f(x)0(其中使f(x)0的x值不構(gòu)成區(qū)間)；
(3) 如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a,b)上為常數(shù)函數(shù),則f(x)0恒成立。
2. 求函數(shù)的極值：
設函數(shù)yf(x)在x0及其附近有定義，如果對x0附近的所有的點都有f(x)f(x0)(或f(x)f(x0))，則稱f(x0)是函數(shù)f(x)的極小值(或極大值)。
可導函數(shù)的極值，可通過研究函數(shù)的單調(diào)性求得，基本步驟是：
(1)確定函數(shù)f(x)的定義域；
(2)求導數(shù)f(x)；
(3)求方程f(x)0的全部實根，x1x2xn，順次將定義域分成若干個小區(qū)間，并列表：x變化時，f(x)和f(x)值的`
變化情況：
(4)檢查f(x)的符號并由表格判斷極值。
3. 求函數(shù)的最大值與最小值：
如果函數(shù)f(x)在定義域I內(nèi)存在x0，使得對任意的xI，總有f(x)f(x0)，則稱f(x0)為函數(shù)在定義域上的最大值。函數(shù)在定義域內(nèi)的極值不一定唯一，但在定義域內(nèi)的最值是唯一的。
求函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值和最小值的步驟：
(1)求f(x)在區(qū)間(a,b)上的極值；
(2)將第一步中求得的極值與f(a),f(b)比較，得到f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值與最小值。
4. 解決不等式的有關(guān)問題：
(1)不等式恒成立問題(絕對不等式問題)可考慮值域。
f(x)(xA)的值域是[a,b]時，
不等式f(x)0恒成立的充要條件是f(x)max0，即b0；
不等式f(x)0恒成立的充要條件是f(x)min0，即a0。
f(x)(xA)的值域是(a,b)時，
不等式f(x)0恒成立的充要條件是b0； 不等式f(x)0恒成立的充要條件是a0。
(2)證明不等式f(x)0可轉(zhuǎn)化為證明f(x)max0，或利用函數(shù)f(x)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為證明f(x)f(x0)0。
5. 導數(shù)在實際生活中的應用：
實際生活求解最大(小)值問題，通常都可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值. 在利用導數(shù)來求函數(shù)最值時，一定要注意，極值點唯一的單峰函數(shù)，極值點就是最值點，在解題時要加以說明。
導數(shù)基本知識點總結(jié)4
一、求導數(shù)的方法
(1)基本求導公式
(2)導數(shù)的四則運算
(3)復合函數(shù)的導數(shù)
設在點x處可導，y=在點處可導，則復合函數(shù)在點x處可導，且即
二、關(guān)于極限
1、數(shù)列的極限：
粗略地說，就是當數(shù)列的項n無限增大時，數(shù)列的項無限趨向于A，這就是數(shù)列極限的描述性定義。記作：=A。如：
2、函數(shù)的極限：
當自變量x無限趨近于常數(shù)時，如果函數(shù)無限趨近于一個常數(shù)，就說當x趨近于時，函數(shù)的極限是,記作
三、導數(shù)的概念
1、在處的導數(shù).
2、在的導數(shù).
3、函數(shù)在點處的導數(shù)的幾何意義：
函數(shù)在點處的導數(shù)是曲線在處的切線的斜率，
即k=，相應的切線方程是
注：函數(shù)的導函數(shù)在時的函數(shù)值，就是在處的導數(shù)。
例、若=2，則=()A-1B-2C1D
四、導數(shù)的綜合運用
(一)曲線的切線
函數(shù)y=f(x)在點處的.導數(shù)，就是曲線y=(x)在點處的切線的斜率.由此，可以利用導數(shù)求曲線的切線方程.具體求法分兩步：
(1)求出函數(shù)y=f(x)在點處的導數(shù)，即曲線y=f(x)在點處的切線的斜率k=；
(2)在已知切點坐標和切線斜率的條件下，求得切線方程為_。
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