《用數對確定位置》課堂實錄范例

　　一、談話引入

　　師:初次見面,能告訴我你們是哪個班的嗎?

　　生:五(2)班。

　　師:噢,是五年級的二班,對嗎?那為什么不老老實實告訴我,是五年級二班,而非要說“五(2)”班?

　　生:這樣比較簡潔。

　　生:說五(2)班,別人一聽就知道是五年級二班了。

　　師:既然這樣,那我覺得還可以更簡潔一些呢。別人要問我,哪班的——二班!

　　生:不行!不行!

　　師:怎么啦?不是更簡潔了嗎?

　　生:光說二班,別人怎么知道是哪個年級的二班呢?這樣不準確。

　　師:那行,要別人問我,哪班的——五!這回總算行了吧。

　　生:還是不行。這樣說,雖然別人知道你是五年級,可到底是五年級哪個班,別人還是不清楚。

　　生:而且,你光說五,別人還不知道究竟是五年級呢,還是五班呢。所以還是不行!

　　師:看來,生活中,我們不能為了簡潔而簡潔,簡潔的同時,還得注意什么?

　　生:準確!

　　(師板書:簡潔、準確)

　　【賞析：開門見山直入問題的本質：用數對確定位置的優點就是準確、簡潔。】

　　二、嘗試探索

　　師:其實,數學也是這樣。比如,在二年級時我們已經研究過用“第幾排、第幾個”等方式來確定人或物體的位置,還記得嗎?

　　生:記得!

　　師:那行。下面的照片中,哪一個是 張老師的兒子?能用二年級學的確定位置的方法大膽猜猜看嗎?

　　【賞析：鼓勵學生大膽猜想，發展學生的合情思維。】

　　(生猜第3組第2個、第5組第1個、第3行第2個、第4組第5個)

　　師：這樣看來，光靠猜，要一下子確定張老師兒子的位置，感覺怎么樣？

　　生：有點困難。

　　師：那就給點提示吧，看看會不會好一些。他呀，在第4組——

　　（師板書：第4組）

　　生：我知道了，是第4組第3個。

　　生：不一定，還可以是第4組第5個。

　　生：第4組有兩個男生，光說第4組還是沒法確定，還得看看在第幾個。

　　（師補充板書：第3個）

　　生：找到了，是他！

　　師：看來，二年級掌握的方法，還真能幫助我們很快確定一個人的位置。不過，換個角度看看，除了第4組第3個以外，還可以怎么確定他的位置？

　　生：第3排第4個。

　　師：既然這樣的方式已經能夠確定位置了，那我們今天還來研究什么呢？

　　生：我覺得是不是有比像“第3排第4個，第4組第3個“更簡潔的方法，也可以用來確定位置。

　　【賞析：有了老師的正確引導，學生的思維深度與廣度是不可低估的。】

　　師：是呀，真和數學家們想一塊兒去了！那你們覺得，會不會有比它更簡潔的確定位置的方法呢？如果有，那又會是什么樣的呢？下面的時間，我把這一任務留給四人小組，看看能不能集中大家的智慧，創造出一種更簡潔，同時也很準確的方法。別忘了，把研究出的方法，記錄在自己的作業本上。如能找到不同的方法，都可以記錄下來！

　　【賞析：抓住合作的最佳時機，這個任務每個學生都有能力參與其中、獻計獻策。】

　　（學生以小組為單位展開研究，時間是5分鐘。教師巡視，并將學生中出現的典型方法記錄下來，然后板書如下：①4排3個②43③4.3④豎4橫3⑤↑4→3⑥4-3⑦4，3）

　　三、交流建構

　　師：這些方法似乎都挺簡潔，到底該選哪一種呢？還是請大家來作評判吧。

　　（生覺得前三種方法都不好。聽了半天，老師聽到的似乎都是批評的聲音）

　　師：難道，剛才被批評的方法，一點值得肯定的地方都沒有嗎？

　　【賞析：張齊華老師的課堂評價用語一直是我學習的榜樣。看似簡簡單單的一句話可以引導學生養成客觀看問題的態度。】

　　生：不對，它們好歹都比原來要簡潔一些。

　　師：這就是一種進步！不過，除了簡潔，難道就沒有別的什么共同的地方？

　　生：哦，它們都有4和3這兩個數。

　　師：多善于觀察！那剩下的幾種方法呢？

　　生：也都有這兩個數。

　　師：既然每一個小組都不約而同地保留了這兩個數，說明——

　　生：這兩個數一定很重要。

　　生：缺一不可！

　　師：說得好！那這里的4和3究竟各表示什么意思呢？為了便于觀察和思考，我們可以把這里的每個人都看做一個小圓圈。（出示下圖）

　　【賞析：較前面出示的“照片”進行了一次初步的抽象。附：抽象是從眾多的事物中抽取出共同的、本質性的特征，而舍棄其非本質的特征。】

　　生：就里的4應該表示第4豎排。

　　師：數學上，我們把豎著的排叫做列。從左往右起，這里第1列，這是——

　　（生答略）

　　師：原來，4表示張老師的兒子在第4列。那3呢？

　　生：3表示第3橫排。

　　生：3表示第3行。

　　師：是的，數學上，橫著的排就叫行。確定行，通常都是從前往后，從下往上。這是第1行，這是——

　　（生答略）

　　師：現在，確定了第4列，又確定了第3行，能最終確定他的位置嗎？

　　師：試想，如果只給你第4列，行嗎？只給第3行呢？

　　（生答略）

　　師：看來，行數和列數還真的缺一不可，少了誰，都無法確定他的位置。既然如此，我覺得剩下的幾種方法似乎都不錯呀。哪種更好呢？

　　【賞析：進一步逼近問題的本質——在同一平面內，用行和列兩維的參數才能確定一個位置。】

　　生：我覺得第4種肯定不行，既有數字又有漢字，看起來就不簡潔。

　　師：不過，老師很好奇：他們小組明知加上漢字不夠簡潔，為什么還非得要添上這兩個字呢？

　　生：我知道！不添上這兩個字，那就不知道這里的4和3哪個是行，哪個是列了。

　　生：如果這樣，那我覺得第6和第7種也都不行。雖然它們都保留了4和3，并且也很簡潔，但是，由于它沒有說清楚哪個是行，哪個是列，所以很容易混淆。（該生的觀點得到了全班多數同學的支持）所以，我覺得還是第5種方法比較好。豎著的箭頭表示列，橫著的箭頭表示行。連在一起就是第4列第3行，而且也很簡潔。

　　師：同意這位同學觀點的請舉手。（絕大多數舉手表示同意）這么多同學都同意啊？那你們不是成心要為難老師嘛！

　　生：為什么？

　　師：因為數學家們最終的方法，已經被你們給否定掉了！

　　生：啊？

　　師：猜猜看，他們最終采納的可能是其中的哪種方法？

　　生：不會是最后一種吧？

　　師：真被你給猜中了。那現在，你們覺得這種方法怎么樣？

　　生：我還是覺得不行，你不說清楚哪個表示列，哪個表示行，別人還是要混淆的。

　　【賞析：初生牛犢不怕虎！他們還真敢質疑“真理”。也真是有其“（師）父”必有其“（學）子”呀！】

　　師：這么說，連數學家們的觀點你們也反駁？

　　生：當然了，因為他們的觀點是錯的！

　　師：那你們說該怎么辦？數學家就這么定的，你們又不同意。別的方法，你們又覺得不行。

　　生：我覺得就可以用第5種，既簡潔又準確。

　　生：用第7種也行，但必須得加個規定。

　　師：什么規定？

　　生：得規定哪個數是行數，哪個數是列數，以后遇到這樣的情況，都按照這樣的規定。

　　【賞析：看樣子，“真理”是可以在我們身邊產生的，只要這里有生成“真理”的“土壤”。】

　　師：真是太棒了。你絕對和數學家們心有靈犀！【賞析：這樣的表揚就是最高境界的贊賞！它是任何物質獎勵都比不上的。也許就是這一句話，此生從此就會愛上數學、愛上思考、大膽創新、創造。可能在多少年之后，在許多物質獎勵都已淡去，具體知識也已忘記時，這句話還縈繞在他的耳畔。】告訴大家，其實數學家們選擇第7種方法時，也發現了它的漏洞。怎么辦呢？后來一討論，干脆一不做、二不休，給它來個規定：以后凡是像這樣用行數和列數來確定一個點的位置的，我們通常都將列數寫前面，行數寫后面。現在，還會引起誤會嗎？

　　生：不會了。

　　師：按照這樣的規定，哪個數寫前面？

　　生：4。

　　師：后面呢？

　　生：可以寫上3。

　　師：中間還得加上個逗號。后來，為了進一步作出區分，他們干脆又在列數和行數外面加上了一個小括號。（邊介紹邊板書）像這樣，用列數和行數所組成的一個數對來確定位置，就是我們今天要研究的內容。

　　四、練習鞏固

　　（師出示圖片）

　　師：小鄧和小白是張老師兒子最好的朋友，你能用數對表示他們的位置嗎？

　　（生答略）

　　師：真不錯。兒子還有一個要好的朋友叫小中，他的位置如果也用數對表示的話，應該是（5，3）。你知道他在哪兒嗎？

　　生：他在第5列第3行。

　　師：你是怎么找到的？

　　生：因為數對前一個數表示列數，后一個數表示行數。

　　師：掌握得確實不錯。瞧，今天，咱們的座位也排得整整齊齊的，如果讓你用數對來表示你自己的位置，行嗎？

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　　師：看來，自我介紹并不難。能用這樣的方式介紹一下你最好的朋友嗎？

　　生：我最好的朋友，她的數對是（4，2）。

　　師：讓我也來認識一下你的朋友，第2列，第4個。認識你很高興。

　　【賞析：教師故意出錯，促使學生再一次辨析行與列的規定。這種教學方法不正是阿莫納什維利在《孩子們，你們好！》中常用的“技倆”嗎？教育的智慧是什么？是在用“四兩撥千斤”的力量引導學生積極思考、主動探究！】

　　生：不對，弄錯了，我說的是（4，2），不是（2，4）。

　　師：（4，2），（2，4），不都是這兩個數嗎？怎么就不對了呢？

　　生：前面的表示列數，后面的表示行數，所以誰在前誰在后很重要。交換位置后，相應的點就不同了。

　　師：看來，以后用數對確定位置時，這一點一定要弄清楚。[師重新找到（4，2）處]真正的朋友原來是你啊！下面，我想再提高要求，我直接報數對，請符合要求的同學迅速起立。看誰的反應最快。（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）。

　　（相應的五名學生一一起立）

　　師：奇怪，怎么就齊刷刷地站起來一隊？

　　【賞析：提醒學生感知其中的規律，促使學生進行歸納總結】

　　生：因為你報的數對有規律。

　　師：是嗎，說來聽聽。

　　生：這五個數對列數都是3，說明他們都在第3列，當然就站起來一隊了。

　　師：說起來挺容易，如果也讓你來出幾個數隊，你有本事也讓一隊同學站起來嗎？誰來試試？【賞析：張老師這種“亦師亦友”教學風格也是自己所追求的。對于高年級學生來說，這種“激將”法有時可以得到神奇的效果。這不，學生積極性又一次被高動起來。這一“招”在后面又連續用了幾次，看樣子它真的挺管用的！】

　　生：（1，5）（2，5）（3，5）（4，5）（5，5）。

　　師：發現了什么？

　　生：這次站起來的是一行。

　　師：有變化了。能說說為什么嗎？

　　生：這次的五個數對雖然列數變了，但行數沒變，所以站起來的自然就在同一行了。

　　師：真不錯！不對，張老師覺得這還不算什么。說五個數對，站起來一排。要是我說，我只給一個數對，就可以請一隊同學站起來，你們信嗎？

　　生：不信！

　　師：口說無憑，要不試試？【屏幕顯示數對：（4，x）】符合要求的同學請站起來。

　　（第4列同學陸陸續續站起來。教師面對第一名學生）

　　師：奇怪，我上面寫（4，1）了沒？

　　生：沒有。

　　師：那你站起來干嗎？還不坐下去。

　　生：不對，（4，x）中的 x是一個未知數，既可以表示1，也可以表示2，3.4等，所以我們都站起來了。

　　師：瞧老師厲害吧，一個數對，就讓一排同學站起來。

　　生：不厲害。我也會！

　　師：是嗎？誰來試試。

　　生：（x,4）。

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　　生：老師，我還可以讓全班同學都站起來。

　　師：是嗎？越來越厲害了。試試！

　　生：（x,x）。

　　師：來，符合要求的請起立（全班學生都站了起來）。嗯，讓我來看看，當x等于1時，誰誰站起來？【數對為（1，1）的同學舉手示意了一下】不錯！當x等于2呢？

　　【數對為（2，2）的學生也示意了一下，此時，有部分學生開始猶豫，也有學生重新坐了下來】

　　師：奇怪，有人開始坐下去了。采訪一下，你為什么又不站了？

　　【賞析：“采訪一下”已成為好幾位名師的口頭語。這不僅是一句話，也讓教師從講臺這個“圣臺”上走了下來，走到學生中去，顯示著師生的平等地位。】

　　生：一開始我覺得（x,x）應該包含所有人，但現在看來，我不算。

　　師：不是說字母可以表示任何數嗎？你怎么就不算了呢？

　　生：字母是可以表示任何數，但我發現，當x等于1時，只有（1，1）可以站，同樣，當x等于2、3、4……時，只有（2，2）（3，3）（4，4）……可以站，所以其他人都不能站。

　　師：說得有沒有道理啊？

　　生：有！

　　生：我還有補充。雖然字母可以表示任何數，但兩個相同的字母只能表示兩個相同的數，這樣的話，就不是所有人都能站起來了。

　　（此時，剩下的同學陸陸續續都坐了下去，只有符合要求的六名學生站著）

　　生：我知道了，可以用（x,）。

　　師：這一次，符合要求的請站起來。（所有學生都站了起來）其實，有錯誤并不重要，重要的是要從錯誤中吸取教訓，并對問題獲得更深入的認識。

　　【賞析：華應龍老師有一重要的教學主張就是“錯誤資源化”。張齊華老師這句話值得我們學習、運用。“錯誤是真理他媽”，我們應該把這樣的信息傳遞給學生，學生才敢大膽地思考、發言、猜想，才能真正把培養學生的創新精神落到實處。一個畏畏縮縮的群體是出不了創新人才的。】

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