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淺談研究生入學(xué)考試中函數(shù)極限問題的解法
【摘要】 就近年全國碩士研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)試題中出現(xiàn)的有關(guān)函數(shù)極限的問題進(jìn)行分析，總結(jié)出解決此類問題常用的技巧，期望能對準(zhǔn)備考研的學(xué)生有所幫助.
【關(guān)鍵詞】函數(shù)極限；洛必達(dá)法則；等價(jià)無窮小
極限是高等數(shù)學(xué)的一個(gè)重要概念，極限理論是現(xiàn)代微積分理論的基石.是否深刻理解極限概念是判斷理工科大學(xué)生對高等數(shù)學(xué)掌握程度的一個(gè)重要指標(biāo).正因如此，研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)試題幾乎每年必有函數(shù)極限的題目，而且考查內(nèi)容非常全面，考查形式多種多樣.考生要想做對比較綜合的研究生考試題目，既需要對涉及的微積分學(xué)概念有深刻的理解，又需要具備靈活運(yùn)用知識解決實(shí)際問題的能力.縱觀歷年試題，會發(fā)現(xiàn)極限題目大多可以用洛必達(dá)法則結(jié)合等價(jià)無窮小替換來解決.
一、預(yù)備知識
給出等價(jià)無窮小的定義及相關(guān)定理，詳見參考文獻(xiàn)[1].
定義1設(shè)變量α和α′均為某變量變化過程中的無窮小，若在該變化過程中l(wèi)imαα′=1，則稱α和α′為該變化過程的等價(jià)無窮小，記為α～α′.
定理1設(shè)在某變量的變化過程中，β～β′.若極限limα′β′存在，則極限limαβ也存在，并且limαβ=limα′β′.
定理2設(shè)函數(shù)f（x），g（x）都是當(dāng)x→a時(shí)的無窮小，f′（x），g′（x）都存在且g′（x）≠0，如果極限limx→af′（x）g′（x）存在（或?yàn)闊o窮大），那么limx→af（x）g（x）=limx→af′（x）g′（x）.
說明雖然文獻(xiàn)[4]已經(jīng)對變上限積分的等價(jià)無窮小替換做了總結(jié)，但考生未必熟悉，且那里總結(jié)[4]中的例子并非囊括了一切情形，所以考生須掌握分析此類問題的方法，方能在考試中隨機(jī)應(yīng)變.此例中利用函數(shù)Taylor展式做等價(jià)無窮小替換也是研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)的重要考點(diǎn).當(dāng)式子含有反三角函數(shù)時(shí)，還可以通過變量替換將其化為含三角函數(shù)的分式，從而避免計(jì)算反三角函數(shù)的Taylor展式，如2013數(shù)學(xué)一No.1.
二、總結(jié)
根據(jù)上面題目的分析及解答，總結(jié)得出下面的解答技巧：首先判斷極限類型.根據(jù)實(shí)際情況，如不是分式形式的極限則通過等價(jià)變形將其轉(zhuǎn)化為計(jì)算“00”型不定式極限；然后根據(jù)分子和分母的形式，選擇合適的等價(jià)無窮小替換簡化分子或分母.如分式的分子或分母出現(xiàn)和、差的情況，則考慮利用初等函數(shù)的Taylor展式；如分子或分母含變上限積分，則考慮先用洛必達(dá)法則求導(dǎo)去掉積分，再利用等價(jià)無窮小替換；如分式中出現(xiàn)反三角函數(shù)，則可以先通過變量替換為三角函數(shù)，然后利用上述方法.具體問題可能重復(fù)交叉用到上面多個(gè)技巧.
鑒于研究生考試題量大，而答題時(shí)間有限，考生在下筆之前需先對題目進(jìn)行多角度觀察全方位考量，在腦海里初步形成多種解法，再選擇一種相對直觀且簡潔的解法作答.
【參考文獻(xiàn)】
[2]全國碩士研究生招生考試數(shù)學(xué)考試大綱 [M]，教育部考試中心，2014.8，北京：高等教育出版社.
[3]全國碩士研究生招生考試數(shù)學(xué)考試分析 [M]，教育部考試中心，2014.8，北京：高等教育出版社.
[4]楊春玲，張傳芳.變上限積分的等價(jià)無窮小[J].高等數(shù)學(xué)研究，2004（6）： 43-44.
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