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《質(zhì)數(shù)與合數(shù)》的課堂教學(xué)實錄
師：(電腦出示三個同樣的小正方形)每個正方形的邊長為1，用這樣的三個正方形拼成一個長方形，你能拼出幾個不同的長方形?
學(xué)生獨立思考--
生1：我能拼出兩個長方形。
師：說說是怎樣的兩個長方形。
生1：是橫著的一個，還有豎著的一個。
師：橫著的這個長方形的長是幾?寬是幾?
生1：長是3、寬是1。
師：還有一個呢?
生1：還有一個長方形的長也是3、寬也是1。
學(xué)生中發(fā)出啊的聲音，以表示不同意這種說法。有些學(xué)生幫助糾正說長是1、寬是3。
師：這無關(guān)緊要，反正長方形相鄰的兩條邊，一條叫長，另一條就叫寬。
師：同學(xué)們，這兩個長方形實質(zhì)上是怎樣的?
生：實質(zhì)上是同樣的長方形，只是放的位置不同。一個是橫著放，另一個是豎著放。
師：是呀，我覺得還可以斜著放。其實，我們只能拼出一個長方形，它的長是3、寬是（電腦演示：將三個同樣的正方形拼成一個長方形，接著出示了四個同樣的小正方形。）
師：這樣的四個小正方形能拼出幾個不同的長方形?
學(xué)生各自獨立思考、想像后舉手回答。
生1：一個。
師：也只能拼出一個？請說出該長方形的長和寬。
生1：長方形的寬是1、長是4。
生2：我認(rèn)為還有一個，它的四邊都是2。(話音剛落，學(xué)生中議論開了--)
生3：他說的是正方形，我認(rèn)為是對的。因為正方形是特殊的長方形。
師：正方形也屬于長方形，是一種特殊的長方形，所以，用4個同樣的小正方形可以拼出幾個不同的長方形?(結(jié)合學(xué)生回答，電腦演示出拼成的兩個長方形。)
師：同學(xué)們再想一下，如果有12個小正方形，你能拼出幾個不同的長方形?
【學(xué)生獨立思考著，過了一會兒，有學(xué)生在紙上畫了起來，漸漸地，越來越多的學(xué)生也拿出筆在紙上畫了起來，這是我未曾想到的。但為了尊重學(xué)生自己的思維方式，我給出一定的時間讓他們畫。但是，我又不能讓學(xué)生將大量的時間花在畫出所有不同的長方形上面。因為引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行空間想像及利用長方形面積計算方法進(jìn)行數(shù)學(xué)地思考，促進(jìn)思維的深入發(fā)展，這才是更加重要的。于是，我就進(jìn)行教學(xué)調(diào)控。】
師：我看到許多同學(xué)不用畫就已經(jīng)知道了。
【我說這話的目的既起暗示作用--暗示學(xué)生不需將各個不同的長方形一一畫出，也有辦法知道能拼出幾個不同的長方形；又起導(dǎo)向作用，讓學(xué)生思考其他的方法或策略。我這話還真見效，一些學(xué)生立即停筆思考，很快有許多學(xué)生積極地舉著手。】
生1：能拼出三個不同的長方形。
師：是怎樣的三個呢?
生1：長是12、寬是1的，還有長是6、寬是2的和長是4，寬是3的三個不同的長方形。
師：你們能想像出拼成的這些長方形嗎?
生2：第一種是把這12個正方形擺成了1排；第二種是每排6個，擺2排；第三種是每排4個，擺3排。
師：同學(xué)們，如果給出的正方形的個數(shù)越多，那拼出的不同的長方形的個數(shù)--，你覺得會怎么樣?
學(xué)生幾乎是異口同聲地說：會越多--
師：(裝作沒聽清楚)給出的正方形的個數(shù)越多，拼出的長方形的個數(shù)，你們是說--(同學(xué)們清楚又響亮地回答越多。)
【此時，教師一聲不吭，保持著沉默。課堂一下子沉靜了下來。此時無聲勝有聲。同學(xué)們認(rèn)真地思考著又過了一會，學(xué)生間開始有點騷動，漸漸地，一些學(xué)生高舉著手--】
生1：不一定的。
師：(故意重復(fù))他說不一定，對嗎?
其他一些學(xué)生更加堅定而響亮地回答對!。
師：說話得要有根據(jù)呀!
學(xué)生的情緒更加激動--
生：剛才四個正方形能排出兩個，如果用5個正方形只能排出1個。如果用潘老師的說法，5個正方形排出的不同的長方形應(yīng)該不止兩個，所以，這話是錯的。
師：同學(xué)們聽明白嗎，他說得好不好?(學(xué)生回答好!)
師：我覺得他說得還不太好，他說潘老師說的，我什么時候說過小正方形個數(shù)越多，拼出的長方形的個數(shù)也越多這話，這可是你們說的呀。不過，你們覺得剛才這位同學(xué)舉的例子好不好?
生：好!
師：一個例子就把你們剛才的結(jié)論給否定了。多有說服力的反例!
師：同學(xué)們，用小正方形拼長方形，有時只能拼出一種，有時拼出的長方形不止一種。你覺得當(dāng)小正方形的個數(shù)是什么數(shù)的時候，只能拼一種?
學(xué)生思考著，之后，相互之間展開了熱烈的討論。
生1：我覺得當(dāng)小正方形的個數(shù)是奇數(shù)--(還沒待該生說完，有些學(xué)生便忍不住地打斷他的發(fā)言。)
師：慢!尊重人家，讓人家把話說完。
生1：是奇數(shù)的時候。
師：我們首先要學(xué)會尊重別人，傾聽別人的發(fā)言，然后對他人的言作出自己的思考，有不同意見的再與他人進(jìn)行討論。
生2：我有反對意見。我想問，9是什么數(shù)?用9個小正方形能排出幾個長方形?
生1：9是奇數(shù)，用9個小正形能排出兩個長方形。我知道了，當(dāng)個數(shù)是奇數(shù)時，也不一定只能擺出一個長方形。
師：那該是什么數(shù)的時候呢?
生3：如果小正方形的個數(shù)在除法里只能被1整除的話，這些小正方形只能拼出一個長方形。例如是一個小正方形。
師：用一個小正方形怎么去拼呢?
生4：那零呢?零是可以被任何數(shù)整除的。
師：他說的是那個數(shù)能被1整除。
生4：但是，零可以被任何數(shù)整除呀，也能被1整除的。
師：噢--，我明白了。你的意思是零也能被1整除，那么零個正方形你怎么拼呢?
生5：我想問前一位同學(xué)，你能找出只能被1整除的數(shù)嗎?
生3：43。
生5：43還能被43整除。
師：是呀，43能被1整除，還能被43本身整除。
生5：我認(rèn)為，這個數(shù)只能被1和它自己本身整除。
師：我們一起來舉些例子，檢驗她這話說得對不對?
學(xué)生舉例：3、13、7、5、11
生：還有1。
師：只有1個正方形就不用拼了。
同學(xué)們同意地點著頭。
師：我們發(fā)現(xiàn)表示正方形個數(shù)的數(shù)只能被1和它本身整除的時候，只能拼成一個長方形。什么情況下拼得的長方形不止一種?
學(xué)生舉例：4、6、8、9、10、12、14、15
師：說得完嗎?
生：說不完。
師：那么，應(yīng)該怎樣回答這個問題呢?(一些學(xué)生發(fā)出無奈的嘆氣聲：啊--)這些數(shù)有什么共同的特征?
生1：這些數(shù)中，第二個、第三個每次都比前一個數(shù)增加2，然后第四個增加1，后面又每次增加2(話沒說完，一些學(xué)生呀--地表示不同意。)
生2：我覺得這些數(shù)都能被兩個以上的數(shù)整除。
師：這些數(shù)都能被兩個以上的數(shù)整除，你能結(jié)合例子說具體點嗎?
生2：4能被1、4整除，還能被2整除；6能被1、6整除，還能被2、3整除；8能被1、8整除，還能被2、4整除；9
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師：這些數(shù)有著共同的特點，那就是它們除了能被1和它本身整除外，還能--
生：還能被別的數(shù)整除。
師：同學(xué)們，像上面這些數(shù)(指前面板書的3、13、7、5、11等數(shù))，在數(shù)學(xué)上我們把它們叫做質(zhì)數(shù)，下面的這些數(shù)(4、6、8、9、10、12、14、15等數(shù))我們把它們叫做合數(shù)。什么樣的數(shù)叫質(zhì)數(shù)，什么樣的數(shù)叫合數(shù)?
學(xué)生獨立思考后，在小組內(nèi)進(jìn)行交流，然后再全班交流。
生1：質(zhì)數(shù)就是只能被1和它本身整除，合數(shù)是能被兩個以上的數(shù)整除。
生2：我們小組在討論了質(zhì)數(shù)與合數(shù)后，還討論了一個零。零到底是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)?我們認(rèn)為是合數(shù)。
師：(笑著)這個零的問題，我們待會兒再說，好嗎?
師：現(xiàn)在看來，大多數(shù)同學(xué)的意見是這樣的，質(zhì)數(shù)只能被1和它本身整除，而合數(shù)除了能被1和它本身整除外，還能被別的數(shù)整除。一個數(shù)能被1整除，說明1是它的--約數(shù)，能被它本身整除，說明它本身也是它的約數(shù)。
結(jié)合學(xué)生回答，教師板書：（略）
接著，讓學(xué)生判斷哪些數(shù)是質(zhì)數(shù)，哪些數(shù)是合數(shù)
生1：17是質(zhì)數(shù)。
師：為什么?
生1：因為它只能被1和它本身整除。
師：嗯--，能不能運用概念進(jìn)行回答?
生1：因為17的約數(shù)只有1和它本身，沒有別的約數(shù)，所以，17是質(zhì)數(shù)。
師：對!運用概念去判斷。
生2：我覺得21是合數(shù)，因為它的約數(shù)有1和它本身，還有3和7。
師：對!它的約數(shù)除了1和它本身外，還有別的約數(shù)3和7。
生3：29是質(zhì)數(shù)。
生4：我覺得48是合數(shù)，因為它的約數(shù)除了1和它本身外，還有別的約數(shù)，譬如說24、2都是它的約數(shù)，所以它是合數(shù)。
有一些學(xué)生認(rèn)為她的回答不完整。
師：有人說她的回答不完整，那誰能回答得完整?
生5：我認(rèn)為，48的約數(shù)除了1和它本身外，還有2和24、12和4。
師：看來你的回答也不完整。
這時，其他學(xué)生補充說，還有3和16、4和12、6和8。
生6：我有一個問題，剛才說的是例如，他并沒有說全部的約數(shù)。
師：那你說，要不要說出全部的約數(shù)?
生6：不用的!只要說出一至兩個就夠了。
師：一至兩個，到底是說出兩個還是說出一個就夠了?(許多學(xué)生齊聲回答一個)
師：同學(xué)，你同意嗎?
生5：同意。
師：其實，剛才那位同學(xué)已經(jīng)回答得非常好了，而這位同學(xué)的解釋也很有道理。你要說48是合數(shù)的話，它的約數(shù)除了1和48外，還有--，這還有我只要舉幾個?
生：一個。
師：對!管它還有幾個，我只要舉出一個，就足以說明它是一個合數(shù)。(教師在剛才板書的質(zhì)數(shù)、合數(shù)的定義中的沒有與還有下面打上著重號。)
接著繼續(xù)進(jìn)行判斷。當(dāng)電腦慢慢地顯示出217813時，一些學(xué)生發(fā)出噢--的驚奇聲，稍頓，電腦又顯示出該數(shù)的最后一個數(shù)字5，此時，寂靜的教室又熱鬧了起來，一些學(xué)生積極地舉手爭取發(fā)言--
生1： 是個質(zhì)數(shù)。(話剛出口，其他學(xué)生異口同聲地啊--)
師：你能說說理由嗎?
生1：它的約數(shù)除了1和它本身外，沒有別的約數(shù)。
師：如果真的沒有別的約數(shù)，那么這個數(shù)就是質(zhì)數(shù)。不過--，這個數(shù)到底還有沒有別的約數(shù)?你再思考一，好嗎? 生2：根據(jù)我們上學(xué)期學(xué)的能被5整除的數(shù)的特征，我們知道個位上是0或5的數(shù)能被5整除，所以，這個數(shù)有別的約數(shù)5，它是合數(shù)。
師：你們覺得他回答得怎么樣?
生：好!
師：你們說的好--很不具體，能不能說出到底好在哪里?
生3：我覺得他好在能運用上學(xué)期學(xué)的知識和現(xiàn)在學(xué)的概念來分辨一個數(shù)是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)。
師：你們覺得他回答得好不好?(學(xué)生響亮地回答好!)
師：他好在哪里?(同學(xué)們及聽課的老師會意地笑了起來。)是呀--他能自覺運用我們已經(jīng)學(xué)過的能被2、5、3整除的數(shù)的特征等知識來回答今天的問題，這就好!
接著，電腦屏幕上又漸漸地顯示出10000032，同學(xué)們激動地說是合數(shù)。
師：這么大的數(shù)，同學(xué)們都能迅速作出正確的判斷，小的數(shù)更不在話下，對嗎?
成功的喜悅洋溢在同學(xué)們的臉上，大家非常自信地回答對!這時，教師隨手板書1，許多學(xué)生都笑了起來。
師：請同學(xué)們?nèi)巳税l(fā)表自己的意見。你認(rèn)為1是質(zhì)數(shù)就打手勢1，認(rèn)為1不是質(zhì)數(shù)就用手勢2表示。
大家作出了思考，隨著教師的一聲口令，同學(xué)們都打出了手勢。結(jié)果，班上只有5個學(xué)生認(rèn)為1不是質(zhì)數(shù)，其余學(xué)生都認(rèn)為1是質(zhì)數(shù)。
師：同學(xué)們，你能說出選擇的理由嗎?
大家非常有自信地回答能!
生1：1能被1整除，1還能被它本身整除，沒有別的約數(shù)，所以1是質(zhì)數(shù)。
生2：他說1只能被1整除，那么，我想問1除以43呢?
教師提醒，１能被４３整除嗎？該生馬上發(fā)現(xiàn)了自己的錯誤。課后教師了解到，生２認(rèn)為１除了整除它本身，還能整除任何一個自然數(shù)，但舉例時卻說成１除以４３。同學(xué)們也馬上發(fā)現(xiàn)了問題，提醒道是整除。
生3：那我想問你--
師：你想問潘老師?
生3：是的。
師：好呀，問潘老師，當(dāng)然可以。請問吧!
生3：它的規(guī)定上面沒有說要整除。
許多學(xué)生在提醒該生是約數(shù)。
師：噢，你說什么是約數(shù)?
生3：在整除的情況下，除數(shù)是被除數(shù)的約數(shù)。
師：對呀，那你說規(guī)定上還要寫明是整除嗎?(該生也點著頭，滿意地坐下。)
生4：我繼續(xù)有反對意見!那零呢?
該生話剛說出口，其他的同學(xué)一起向他指出零不可以作除數(shù)。
師：零能被1整除，零能被100整除--
生5：(教師的話還沒有說完)零還能被它本身整除。
一石激起千層浪。
生6：1除以零呢?我認(rèn)為零是不能作為除數(shù)的，因為零乘以任何數(shù)不會等于1的。零作除數(shù)是沒有意義的。
師：同學(xué)們的討論是很不錯的。對于1是不是質(zhì)數(shù)，大家都在從概念出發(fā)進(jìn)行判斷。有的同學(xué)認(rèn)為1是質(zhì)數(shù)，也有的認(rèn)為1不是質(zhì)數(shù)，在認(rèn)為1不是質(zhì)數(shù)的人中間，還有一個人，他是誰啊?
教師舉著手在問大家，同學(xué)們卻轉(zhuǎn)頭相互看著，終于有學(xué)生說著是老師。
師：我告訴你們，這1確實不是質(zhì)數(shù)!
同學(xué)們懷疑地發(fā)出啊的聲音，有的學(xué)生補充著也不是合數(shù)。
師：(肯定地)對!1也不是合數(shù)。
生7：我想問你，1是什么數(shù)?(有些學(xué)生回答說1是自然數(shù))
師：(承接著)1是自然數(shù)唄。可是，1好像是符合質(zhì)數(shù)的條件的，為什么說1不是質(zhì)數(shù)呢?
【學(xué)生中既然對此存有疑問，有必要討論一下，不宜教師一錘定音。】
生8：因為1和它本身是一個數(shù)。
師：
您現(xiàn)在正在閱讀的《質(zhì)數(shù)與合數(shù)》課堂教學(xué)實錄—特級教師潘小明文章內(nèi)容由收集!本站將為您提供更多的精品教學(xué)資源!《質(zhì)數(shù)與合數(shù)》課堂教學(xué)實錄—特級教師潘小明是呀，1是1的約數(shù)，它本身也是1的約數(shù)。同學(xué)們，問題到底在哪里?
一些學(xué)生竊竊議論著，可能是概念有問題。
生：可能是編書的老師編錯了。
師：有可能是編書的編錯了，編書的老師今天也在。(大家哈哈大笑了起來)
師：那怎樣說，才能說明1不是質(zhì)數(shù)呢?
生9：當(dāng)1和它本身是相同的時候，這個數(shù)就不是質(zhì)數(shù)。
師：也就是說1只有1個約數(shù)，它不是質(zhì)數(shù)。那么，質(zhì)數(shù)的約數(shù)應(yīng)該是幾個呢?
生10：是兩個約數(shù)。
結(jié)合學(xué)生的回答，教師在前面板書的一個數(shù)除了1和它本身后插入兩個約數(shù)。
【這樣的定義雖然與課本上的敘述不盡相同，但確實表明學(xué)生已經(jīng)理解質(zhì)數(shù)的概念了。】
師：現(xiàn)在運用這個概念，同學(xué)們你們能判斷嗎?
學(xué)生回答1不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)。
生：零是什么數(shù)?
師：零肯定不是質(zhì)數(shù)。這零的問題，我們以后再好好地研究，好嗎?
【對于學(xué)生提出零是什么數(shù)的問題，我首先想到的是要保護(hù)學(xué)生敢于質(zhì)疑的積極性，同時又考慮到數(shù)的整除是在非零自然數(shù)范圍內(nèi)學(xué)習(xí)的，為此，與學(xué)生商量著以后再好好研究。】
電腦出示：73。學(xué)生在思考著它是不是質(zhì)數(shù)。
師：要想馬上知道73是什么數(shù)還真不容易。如果有質(zhì)數(shù)表可查就方便了。(同學(xué)們都說是呀。)
師：這表從哪來?
一個學(xué)生舉起一張課前印發(fā)的紙，高興地說質(zhì)數(shù)表在這兒。
師：這上面是1到100這１００個數(shù)。（一些學(xué)生大聲地說９９個數(shù)）它不是質(zhì)數(shù)表。
師：對!因為1既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)，所以我把它丟了。你們怎樣找出100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)，制成質(zhì)數(shù)表?[見附表(略)]
【對于制作100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)表，我認(rèn)為用什么樣的方法去制表，要比單純地找出這些質(zhì)數(shù)更為重要，因為它能夠讓學(xué)生在制表的過程中，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思想方法。所以，在上課之前，我將原來印有的把質(zhì)數(shù)留下，其他的數(shù)劃去的要求刪除。這樣，同學(xué)們就不是機械地按教師的指令操作，而是從自己的實際出發(fā)自由地展開思維。】
師：剛才，我們的有些同學(xué)接受任務(wù)后，馬上就去找。要是我，我可不急于去找，而是想想用什么方法去找。說說你們是怎樣找的。
生1：我是按照質(zhì)數(shù)的概念一個一個地進(jìn)行判斷，是質(zhì)數(shù)的用一種符號表示，是合數(shù)的用另一種符號表示。
生2：我是將質(zhì)數(shù)用符號表示出來，剩下的數(shù)劃去。
師：(若有所思地)把質(zhì)數(shù)留下，其他的數(shù)去掉，這--，古代數(shù)學(xué)家就是用這種篩選的方法制作質(zhì)數(shù)表的。我們都來篩吧！
接著，學(xué)生各自用篩選的方法在制作質(zhì)數(shù)表。在學(xué)生進(jìn)行了一段時間的實踐后，由學(xué)生進(jìn)行介紹。結(jié)果，大多數(shù)的學(xué)生是用逐個數(shù)判斷的辦法篩選出質(zhì)數(shù)的。
師：怎樣篩選得更快?
生1：我先把偶數(shù)都劃掉。
話沒說完，許多只手舉得高高，一些學(xué)生急不可待地說著不對!2不能劃去。
師：同學(xué)們，你們應(yīng)該讓人把話說完，再發(fā)表你的意見，對嗎?
生1：我剛才說錯了。應(yīng)該把2留下，因為2是質(zhì)數(shù)，把2以外的其他偶數(shù)都劃去；接著把3留下，其他的3的倍數(shù)都劃去；把5留下，其他的5的倍數(shù)都劃去；把7留下，其他的7的倍數(shù)都劃去
此時，同學(xué)們一起回答著把11留下，其他的11的倍數(shù)都劃去
師：表中11的倍數(shù)是哪些呢?你能說出幾個嗎?
同學(xué)們在列舉著，從中發(fā)現(xiàn)22、33、44、55、66、77、88、99等在前面都已經(jīng)劃去了。
師：再看看，表中還有要劃去的數(shù)嗎?
學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)了規(guī)律，高興地說不用再劃下去了。
生4：我有更快的方法，第一列留2，其他都劃去；第二列留3，其他都劃去；第三列都劃去；第五列都劃去；再接下去，只要在第四列和第六列中去找質(zhì)數(shù)。（這時下課的鈴聲響了。）
生5：我發(fā)現(xiàn)，除了2和3兩個質(zhì)數(shù)外，其他的質(zhì)數(shù)都在第四或第六列中。
師：第五列的數(shù)有什么特點?
生6：它們都能被6整除，是6的倍數(shù)。
生7：我知道2、3以外的質(zhì)數(shù)比6的倍數(shù)少1或比6的倍數(shù)大1。
生8：我發(fā)現(xiàn)1到20的數(shù)中有8個質(zhì)數(shù)，可80到100的數(shù)中只有3個質(zhì)數(shù)，以后的質(zhì)數(shù)會不會越來越少?質(zhì)數(shù)的個數(shù)是不是有限的?
師：同學(xué)們善于觀察、肯于動腦、敢于提問，太好了。關(guān)于質(zhì)數(shù)與合數(shù)的學(xué)問多著呢!你們聽說過數(shù)學(xué)皇冠上的明珠--哥德巴赫猜想嗎?若感興趣，就上網(wǎng)去吧。
同學(xué)們的好奇心油然而生，盡管下課的鈴聲已響過，可大家仍沉浸在數(shù)學(xué)的夢幻之中
附表：（略）
編后記 筆者3月25日在寶山區(qū)實驗小學(xué)現(xiàn)場聽了這一堂課。感受最深的一點是老師的真情投入，師生心靈間的交流與感應(yīng)，調(diào)動起學(xué)生的興趣，激發(fā)出生的創(chuàng)造力，使學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗和效率成倍提高。感人心者，莫先乎情，情迫則思深矣。
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