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高二數學的學習技巧

時間：2024-05-30 18:40:59 科普知識我要投稿

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高二數學的學習技巧

高二數學的學習技巧1

　　一、溫故法

高二數學的學習技巧

　　學習新概念前，如果能對孩子認知結構中原有的適當概念作一些結構上的變化來引進新概念，則有利于促進新概念的形成。

　　二、操作法

　　對有些概念的教學，可以從感性材料出發，讓孩子在操作中去發現概念的發生和發展過程。

　　三、類比法

　　這種方法有利于分析兩相關概念的異同，歸納出新授內容有關知識;有利于幫助孩子架起新、舊知識的橋梁，促進知識遷移，提高探索能力。

　　四、喻理法

　　為正確理解某一概念，以實例或生活中的趣事、典故作比喻，引出新概念.

　　五、置疑法

　　這種方法是通過揭示教學自身的矛盾來引入概念，以突出引進新概念的必要性和合理性，調動孩子了解新概念的強烈的動機和愿望。

　　六、創境法

　　如在講相遇問題時，為讓孩子對相向運動的各種可能的情況有所感受，可以從研究"鼓掌時兩只手怎樣運動"開始。通過拍手體驗，在邊問、邊議中逐步講解。實踐證明，如此使孩子猶如身臨其境去體驗并理解有關知識，能很快準確地掌握相關的數學概念。

　　中國數學發展史概述

　　中國是世界文明古國之一，地處亞洲東部，瀕太平洋西岸。黃河流域和長江流域是中華民族文化的搖籃，大約在公元前2000年，在黃河中下游產生了第一個奴隸制國家──夏朝（前2033-前1562）,共經歷十三世、十六王。其后又有奴隸制國家商（前562年—1066年,共歷十七世三十一王）和西周?前1027年—前771年,共歷約二百五十七年，傳十一世、十二王?。隨后出現了中國歷史上的第一次全國性大分裂形成的時期──春秋（前770年-前476年）戰國（前403年-前221年），春秋后期,中國文明進入封建時代,到公元前221年秦王贏政統一全國,出現了中國歷史上第一個封建帝制國家──秦朝（前221年—前206年）,在以后的時間里,中國封建文明在秦帝國的封建體制的基礎不斷完善地持續發展,經歷了統一強盛的西漢（公元前206年—公元8年）帝國、東漢王朝（公元25年—公元220年）、戰亂頻仍與分裂的三國時期（公元208年-公元280年）、西晉（公元265年—公元316年）與東晉王朝（公元317年—公元420年）、漢民族以外的少數民族統治的南朝（公元420年—公元589年）與北朝（公元386年—公元518年）。到了公元581年，由隋再次統一了全國，建立了大一統的隋朝（公元581—618年），接著經歷了強大富庶文化繁榮的大唐王朝（公元618年—907年）、北方少數民族政權遼（公元916年-公元1125年）、經濟和文化發達的北宋（公元960年~公元1127年）與南宋（公元1127年-公元1279年）、蒙古族建立的控制范圍擴張至整個西亞地區的疆域最大的元朝（公元1271年-1368年）、元朝滅亡后，漢族人在華夏大地上重新建立起來的封建王朝──明朝（公元1368年-公元1644年），明王朝于17世紀中為少數民族女真族（滿族）建立的清朝（公元1616年-公元1911年）所代替。清朝是中國最后一個封建帝制國家。自此之后，中國脫離了帝制而轉入了現代民主國家。

　　中國文明與古代埃及、美索不達米亞、印度文明一樣，都是古老的農耕文明，但與其他文明截然不同，它其持續發展兩千余年之久，在世界文明史上是絕無僅有的。這種文明十分注重社會事務的管理，強調實際與經驗，關心人和自然的和諧與人倫社會的秩序，儒家思想作為調解社會矛盾、維系這一文明持續發展的重要思想基礎。

　　一、中國數學的起源與早期發展

　　據《易·系辭》記載：「上古結繩而治，后世圣人易之以書契」。在殷墟出土的甲骨文卜辭中有很多記數的文字。從一到十，及百、千、萬是專用的記數文字，共有13個獨立符號，記數用合文書寫，其中有十進制制的記數法，出現最大的數字為三萬。

　　算籌是中國古代的計算工具，而這種計算方法稱為籌算。算籌的產生年代已不可考，但可以肯定的是籌算在春秋時代已很普遍。

　　用算籌記數，有縱、橫兩種方式：

　　表示一個多位數字時，采用十進位值制，各位值的數目從左到右排列，縱橫相間?法則是：一縱十橫，百立千僵，千、十相望，萬、百相當?，并以空位表示零。算籌為加、減、乘、除等運算建立起良好的條件。

　　籌算直到十五世紀元朝末年才逐漸為珠算所取代，中國古代數學就是在籌算的基礎上取得其輝煌成就的。

　　在幾何學方面《史記·夏本記》中說夏禹治水時已使用了規、矩、準、繩等作圖和測量工具，并早已發現「勾三股四弦五」這個勾股定理?西方稱勾股定理?的特例。戰國時期，齊國人著的《考工記》匯總了當時手工業技術的規范，包含了一些測量的內容，并涉及到一些幾何知識，例如角的概念。

　　戰國時期的百家爭鳴也促進了數學的發展，一些學派還總結和概括出與數學有關的許多抽象概念。著名的有《墨經》中關于某些幾何名詞的定義和命題，例如：「圓，一中同長也」、「平，同高也」等等。墨家還給出有窮和無窮的定義。《莊子》記載了惠施等人的名家學說和桓團、公孫龍等辯者提出的論題，強調抽象的數學思想，例如「至大無外謂之大一，至小無內謂之小一」、「一尺之棰，日取其半，萬世不竭」等。這些許多幾何概念的定義、極限思想和其它數學命題是相當可貴的數學思想，但這種重視抽象性和邏輯嚴密性的新思想未能得到很好的繼承和發展。

　　此外，講述陰陽八卦，預言吉兇的《易經》已有了組合數學的萌芽，并反映出二進制的思想。

　　二、中國數學體系的形成與奠基

　　這一時期包括從秦漢、魏晉、南北朝，共400年間的數學發展歷史。秦漢是中國古代數學體系的形成時期，為使不斷豐富的數學知識系統化、理論化，數學方面的專書陸續出現。

　　現傳中國歷史最早的數學專著是1984年在湖北江陵張家山出土的成書于西漢初的漢簡《算數書》，與其同時出土的一本漢簡歷譜所記乃呂后二年（公元前186年），所以該書的成書年代至晚是公元前186年（應該在此前）。

　　西漢末年?公元前一世紀?編纂的《周髀算經》，盡管是談論蓋天說宇宙論的天文學著作，但包含許多數學內容，在數學方面主要有兩項成就：(1)提出勾股定理的特例及普遍形式；(2)測太陽高、遠的陳子測日法，為后來重差術（勾股測量法）的先驅。此外，還有較復雜的開方問題和分數運算等。

　　《九章算術》是一部經幾代人整理、刪補和修訂而成的古代數學經典著作，約成書于東漢初年?公元前一世紀?。全書采用問題集的形式編寫，共收集了246個問題及其解法，分屬于方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程和勾股九章。主要內容包括分數四則和比例算法、各種面積和體積的計算、關于勾股測量的計算等。在代數方面，《方程》章中所引入的負數概念及正負數加減法法則，在世界數學史上都是最早的記載；書中關于線性方程組的解法和現在中學講授的方法基本相同。就《九章算術》的特點來說，它注重應用，注重理論聯系實際，形成了以籌算為中心的`數學體系，對中國古算影響深遠。它的一些成就如十進制值制、今有術、盈不足術等還傳到印度和阿拉伯，并通過這些國家傳到歐洲，促進了世界數學的發展。

　　魏晉時期中國數學在理論上有了較大的發展。其中趙爽（生卒年代不詳）和劉徽（生卒年代不詳）的工作被認為是中國古代數學理論體系的開端。三國吳人趙爽是中國古代對數學定理和公式進行證明的最早的數學家之一，對《周髀算經》做了詳盡的注釋,在《勾股圓方圖注》中用幾何方法嚴格證明了勾股定理，他的方法已體現了割補原理的思想。趙爽還提出了用幾何方法求解二次方程的新方法。263年，三國魏人劉徽注釋《九章算術》，在《九章算術注》中不僅對原書的方法、公式和定理進行一般的解釋和推導，系統地闡述了中國傳統數學的理論體系與數學原理，而且在其論述中多有創造，在卷1《方田》中創立割圓術（即用圓內接正多邊形面積無限逼近圓面積的辦法），為圓周率的研究工作奠定理論基礎和提供了科學的算法，他運用“割圓術”得出圓周率的近似值為3927/1250（即3.1416）；在《商功》章中，為解決球體積公式的問題而構造了“牟合方蓋”的幾何模型，為祖?獲得正確結果開辟了道路；為建立多面體體積理論，運用極限方法成功地證明了陽馬術；他還撰著《海島算經》，發揚了古代勾股測量術----重差術。

　　南北朝時期的社會長期處于戰爭和分裂狀態，但數學的發展依然蓬勃。出現了《孫子算經》、《夏侯陽算經》、《張丘建算經》等算學著作。約于公元四-五世紀成書的《孫子算經》給出「物不知數」問題并作了解答，導致求解一次同余組問題在中國的濫暢；《張丘建算經》的「百雞問題」引出三個未知數的不定方程組問題。

　　公元五世紀，祖沖之、祖?父子的工作在這一時期最具代表性，他們在《九章算術》劉徽注的基礎上，將傳統數學大大向前推進了一步，成為重視數學思維和數學推理的典范。他們同時在天文學上也有突出的貢獻。其著作《綴術》已失傳，根據史料記載，他們在數學上主要有三項成就：(1)計算圓周率精確到小數點后第六位，得到3.1415926 <π< 3.1415927，并求得π的約率為22/7，密率為355/113，其中密率是分子分母在1000以內的最佳值，歐洲直到十六世紀德國人鄂圖（valentinus otto）和荷蘭人安托尼茲（a.anthonisz)才得出同樣結果；(2)祖?在劉徽工作的基礎上推導出球體體積的正確公式，并提出"冪勢既同則積不容異"的體積原理，即二立體等高處截面積均相等則二體體積相等的定理。歐洲十七世紀意大利數學家卡瓦列利（bonaventura cavalieri）才提出同一定理；(3)發展了二次與三次方程的解法。

　　同時代的天文歷學家何承天創調日法，以有理分數逼近實數，發展了古代的不定分析與數值逼近算法。

　　三、中國數學教育制度的建立

　　隋朝大興土木，客觀上促進了數學的發展。唐初王孝通撰《緝古算經》，主要是通過土木工程中計算土方、工程的分工與驗收以及倉庫和地窖計算等實際問題，討論如何以幾何方式建立三次多項式方程，發展了《九章算術》中的少廣、勾股章中開方理論。

　　隋唐時期是中國封建官僚制度建立時期，隨著科舉制度與國子監制度的確立，數學教育有了長足的發展。656年國子監設立算學館，設有算學博士和助教，由太史令李淳風等人編纂注釋《算經十書》?包括《周髀算經》、《九章算術》、《海島算經》、《孫子算經》、《張丘建算經》、《夏侯陽算經》、《緝古算經》、《五曹算經》、《五經算術》和《綴術》?，作為算學館學生用的課本。對保存古代數學經典起了重要的作用。

　　由于南北朝時期的一些重大天文發現在隋唐之交開始落實到歷法編算中，使唐代歷法中出現一些重要的數學成果。公元600年，隋代劉焯在制訂《皇極歷》時，在世界上最早提出了等間距二次內插公式，這在數學史上是一項杰出的創造，唐代僧一行在其《大衍歷》中將其發展為不等間距二次內插公式。

　　唐朝后期，計算技術有了進一步的改進和普及，出現很多種實用算術書，對于乘除算法力求簡捷。

　　四、中國數學發展的高峰

　　唐朝亡后，五代十國仍是軍閥混戰的繼續，直到北宋王朝統一了中國，農業、手工業、商業迅速繁榮，科學技術突飛猛進。從公元十一世紀到十四世紀?宋、元兩代?，籌算數學達到極盛，是中國古代數學空前繁榮，碩果累累的全盛時期。這一時期出現了一批著名的數學家和數學著作，列舉如下：賈憲的《黃帝九章算法細草》?11世紀中葉?，劉益的《議古根源》?12世紀中葉?，秦九韶的《數書九章》?1247?，李冶的《測圓海鏡》?1248?和《益古演段》?1259?，楊輝的《詳解九章算法》?1261?、《日用算法》?1262?和《楊輝算法》?1274-1275?，朱世杰的《算學啟蒙》?1299?和《四元玉鑒》?1303?等等。宋元數學在很多領域都達到了中國古代數學，也是當時世界數學的巔峰。其中主要的工作有：

　　公元1050年左右，北宋賈憲（生卒年代不詳）在《黃帝九章算法細草》中創造了開任意高次冪的“增乘開方法”，公元1819年英國人霍納（william george horner）才得出同樣的方法。賈憲還列出了二項式定理系數表，歐洲到十七世紀才出現類似的“巴斯加三角”。（《黃帝九章算法細草》已佚）

　　公元1088—1095年間，北宋沈括從“酒家積罌”數與“層壇”體積等生產實踐問題提出了“隙積術”，開始對高階等差級數的求和進行研究，并創立了正確的求和公式。沈括還提出“會圓術”，得出了我國古代數學史上第一個求弧長的近似公式。他還運用運籌思想分析和研究了后勤供糧與運兵進退的關系等問題。

　　公元1247年，南宋秦九韶在《數書九章》中推廣了增乘開方法，敘述了高次方程的數值解法，他列舉了二十多個來自實踐的高次方程的解法，最高為十次方程。歐洲到十六世紀意大利人菲爾洛（scipio del ferro）才提出三次方程的解法。秦九韶還系統地研究了一次同余式理論。

　　公元1248年，李冶（李治，公元1192一1279年）著的《測圓海鏡》是第一部系統論述“天元術”（一元高次方程）的著作，這在數學史上是一項杰出的成果。在《測圓海鏡?序》中，李冶批判了輕視科學實踐，以數學為“九九賤技”、“玩物喪志”等謬論。

　　公元1261年，南宋楊輝（生卒年代不詳）在《詳解九章算法》中用“垛積術”求出幾類高階等差級數之和。公元1274年他在《乘除通變本末》中還敘述了“九歸捷法”，介紹了籌算乘除的各種運算法。公元1280年，元代王恂、郭守敬等制訂《授時歷》時，列出了三次差的內插公式。郭守敬還運用幾何方法求出相當于現在球面三角的兩個公式。

　　公元1303年，元代朱世杰（生卒年代不詳）著《四元玉鑒》，他把“天元術”推廣為“四元術”（四元高次聯立方程）,并提出消元的解法，歐洲到公元1775年法國人別朱（etienne bezout）才提出同樣的解法。朱世杰還對各有限項級數求和問題進行了研究，在此基礎上得出了高次差的內插公式，歐洲到公元1670年英國人格里高利（james gregory)和公元1676一1678年間牛頓（issac newton）才提出內插法的一般公式。

　　公元十四世紀我國人民已使用珠算盤。在現代計算機出現之前，珠算盤是世界上簡便而有效的計算工具。

　　五、中國數學的衰落與日用數學的發展

　　這一時期指十四世紀中葉明王朝建立到明末的1582年。數學除珠算外出現全面衰弱的局面，當中涉及到中算的局限、十三世紀的考試制度中已刪減數學內容、明代大興八段考試制度等復雜的問題，不少中外數學史家仍探討當中涉及的原因。

　　明代最大的成就是珠算的普及，出現了許多珠算讀本，及至程大位的《直指算法統宗》?1592?問世，珠算理論已成系統，標志著從籌算到珠算轉變的完成。但由于珠算流行，籌算幾乎絕跡，建立在籌算基礎上的古代數學也逐漸失傳，數學出現長期停滯。

　　六、西方初等數學的傳入與中西合璧

　　十六世紀末開始，西方傳教士開始到中國活動，由于明清王朝制定天文歷法的需要，傳教士開始將與天文歷算有關的西方初等數學知識傳入中國，中國數學家在“西學中源”思想支配下，數學研究出現了一個中西融合貫通的局面。

　　十六世紀末，西方傳教士和中國學者合譯了許多西方數學專著。其中第一部且有重大影響的是意大利傳教士利馬竇和徐光啟合譯的《幾何原本》前6卷?1607?，其嚴謹的邏輯體系和演譯方法深受徐光啟推崇。徐光啟本人撰寫的《測量異同》和《勾股義》便應用了《幾何原本》的邏輯推理方法論證中國的勾股測望術。此外，《幾何原本》課本中絕大部份的名詞都是首創，且沿用至今。在輸入的西方數學中僅次于幾何的是三角學。在此之前，三角學只有零星的知識，而此后獲得迅速發展。介紹西方三角學的著作有鄧玉函編譯的《大測》?2卷，1631?、《割圓八線表》?6卷?和羅雅谷的《測量全義》?10卷，1631?。在徐光啟主持編譯的《崇禎歷書》?137卷，1629-1633?中，介紹了有關圓椎曲線的數學知識。

　　入清以后，會通中西數學的杰出代表是梅文鼎，他堅信中國傳統數學「必有精理」，對古代名著做了深入的研究，同時又能正確對待西方數學，使之在中國扎根，對清代中期數學研究的高潮是有積極影響的。與他同時代的數學家還有王錫闡和年希堯等人。清康熙帝愛好科學研究，他「御定」的《數理精蘊》?53卷，1723?，是一部比較全面的初等數學書，對當時的數學研究有一定影響。

　　七、傳統數學的整理與復興

　　乾嘉年間形成一個以考據學為主的干嘉學派，編成《四庫全書》，其中數學著作有《算經十書》和宋元時期的著作，為保存瀕于湮沒的數學典籍做出重要貢獻。

　　在研究傳統數學時，許多數學家還有發明創造，例如有「談天三友」之稱的焦循、汪萊及李銳作出不少重要的工作。李善蘭在《垛積比類》?約1859?中得到三角自乘垛求和公式，現在稱之為「李善蘭恒等式」。這些工作較宋元時期的數學進了一步。阮元、李銳等人編寫了一部天文學家和數學家傳記《疇人傳》46卷?1795-1810?，開數學史研究之先河。

　　八、西方數學再次東進

　　1840年鴉戰爭后，閉關鎖國政策被迫中止。同文館內添設「算學」，上海江南制造局內添設翻譯館，由此開始第二次翻譯引進的高潮。主要譯者和著作有：李善蘭與英國傳教士偉烈亞力合譯的《幾何原本》后9卷?1857?，使中國有了完整的《幾何原本》中譯本；《代數學》13卷?1859?；《代微積拾級》18卷?1859?。李善蘭與英國傳教士艾約瑟合譯《圓錐曲線說》3卷，華蘅芳與英國傳教士傅蘭雅合譯《代數術》25卷?1872?，《微積溯源》8卷?1874?，《決疑數學》10卷?1880?等。在這些譯著中，創造了許多數學名詞和術語，至今仍在應用。 1898年建立京師大學堂，同文館并入。1905年廢除科舉，建立西方式學校教育，使用的課本也與西方其它各國相仿。

　　九、中國現代數學的建立

　　這一時期是從20世紀初至今的一段時間，常以1949年新中國成立為標志劃分為兩個階段。

　　中國近現代數學開始于清末民初的留學活動。較早出國學習數學的有1903年留日的馮祖荀，1908年留美的鄭之蕃，1910年留美的胡明復和趙元任，1911年留美的姜立夫，1912年留法的何魯，1913年留日的陳建功和留比利時的熊慶來?1915年轉留法?，1919年留日的蘇步青等人。他們中的多數回國后成為著名數學家和數學教育家，為中國近現代數學發展做出重要貢獻。其中胡明復1917年取得美國哈佛大學博士學位，成為第一位獲得博士學位的中國數學家。隨著留學人員的回國，各地大學的數學教育有了起色。最初只有北京大學1912年成立時建立的數學系，1920年姜立夫在天津南開大學創建數學系，1921年和1926年熊慶來分別在東南大學?今南京大學?和清華大學建立數學系，不久武漢大學、齊魯大學、浙江大學、中山大學陸續設立了數學系，到1932年各地已有32所大學設立了數學系或數理系。1930年熊慶來在清華大學首創數學研究部，開始招收研究生，陳省身、吳大任成為國內最早的數學研究生。三十年代出國學習數學的還有江澤涵?1927?、陳省身?1934?、華羅庚?1936?、許寶??1936?等人，他們都成為中國現代數學發展的骨干力量。同時外國數學家也有來華講學的，例如英國的羅素?1920?，美國的伯克霍夫?1934?、奧斯古德?1934?、維納?1935?，法國的阿達馬?1936?等人。1935年中國數學會成立大會在上海召開，共有33名代表出席。1936年〈中國數學會學報〉和《數學雜志》相繼問世，這些標志著中國現代數學研究的進一步發展。解放以前的數學研究集中在純數學領域，在國內外共發表論著600余種。在分析學方面，陳建功的三角級數論，熊慶來的亞純函數與整函數論研究是代表作，另外還有泛函分析、變分法、微分方程與積分方程的成果；在數論與代數方面，華羅庚等人的解析數論、幾何數論和代數數論以及近世代數研究取得令世人矚目的成果;在幾何與拓撲學方面，蘇步青的微分幾何學，江澤涵的代數拓撲學，陳省身的纖維叢理論和示性類理論等研究做了開創性的工作：在概率論與數理統計方面，許寶?在一元和多元分析方面得到許多基本定理及嚴密證明。此外，李儼和錢寶琮開創了中國數學史的研究，他們在古算史料的注釋整理和考證分析方面做了許多奠基性的工作，使我國的民族文化遺產重放光彩。

　　1949年11月即成立中國科學院。1951年3月《中國數學學報》復刊?1952年改為《數學學報》?，1951年10月《中國數學雜志》復刊?1953年改為《數學通報》?。1951年8月中國數學會召開建國后第一次國代表大會，討論了數學發展方向和各類學校數學教學改革問題。

　　建國后的數學研究取得長足進步。50年代初期就出版了華羅庚的《堆棧素數論》?1953?、蘇步青的《射影曲線概論》?1954?、陳建功的《直角函數級數的和》?1954?和李儼的《中算史論叢》5集?1954-1955?等專著，到1966年，共發表各種數學論文約2萬余篇。除了在數論、代數、幾何、拓撲、函數論、概率論與數理統計、數學史等學科繼續取得新成果外，還在微分方程、計算技術、運籌學、數理邏輯與數學基礎等分支有所突破，有許多論著達到世界先進水平，同時培養和成長起一大批優秀數學家。

　　60年代后期，中國的數學研究基本停止，教育癱瘓、人員喪失、對外交流中斷，后經多方努力狀況略有改變。1970年《數學學報》恢復出版，并創刊《數學的實踐與認識》。1973年陳景潤在《中國科學》上發表《大偶數表示為一個素數及一個不超過二個素數的乘積之和》的論文，在哥德巴赫猜想的研究中取得突出成就。此外中國數學家在函數論、馬爾可夫過程、概率應用、運籌學、優選法等方面也有一定創見。

　　1978年11月中國數學會召開第三次代表大會，標志著中國數學的復蘇。1978年恢復全國數學競賽，1985年中國開始參加國際數學奧林匹克數學競賽。1981年陳景潤等數學家獲國家自然科學獎勵。1983年國家首批授于18名中青年學者以博士學位，其中數學工作者占2/3。1986年中國第一次派代表參加國際數學家大會，加入國際數學聯合會，吳文俊應邀作了關于中國古代數學史的45分鐘演講。近十幾年來數學研究碩果累累，發表論文專著的數量成倍增長，質量不斷上升。1985年慶祝中國數學會成立50周年年會上，已確定中國數學發展的長遠目標。代表們立志要不懈地努力，爭取使中國在世界上早日成為新的數學大國。

　　十、中國數學的特點

　　（1）以算法為中心，屬于應用數學。中國數學不脫離社會生活與生產的實際，以解決實際問題為目標，數學研究是圍繞建立算法與提高計算技術而展開的。

　　（2）具有較強的社會性。中國傳統數學文化中，數學被儒學家培養人的道德與技能的基本知識---六藝（禮、樂、射、御、書、數）之一，它的作用在于“通神明、順性命，經世務、類萬物”，所以中國傳統數學總是被打上中國哲學與古代學術思想的烙印，往往與術數交織在一起。同時，數學教育與研究往往被封建政府所控制，唐宋時代的數學教育與科舉制度、歷代數學家往往是政府的天文官員，這些事例充分反映了這一性質。

　　（3）寓理于算，理論高度概括。由于中國傳統數學注重解決實際問題，而且因中國人綜合、歸納思維的決定，所以中國傳統數學不關心數學理論的形式化，但這并不意味中國傳統僅停留在經驗層次而無理論建樹。其實中國數學的算法中蘊涵著建立這些算法的理論基礎，中國數學家習慣把數學概念與方法建立在少數幾個不證自明、形象直觀的數學原理之上，如代數中的“率”的理論，平面幾何中的“出入相補”原理，立體幾何中的“陽馬術”、曲面體理論中的“截面原理”（或稱劉祖原理，即卡瓦列利原理）等等。

　　十一、中國數學對世界的影響

　　數學活動有兩項基本工作----證明與計算，前者是由于接受了公理化（演繹化）數學文化傳統，后者是由于接受了機械化（算法化）數學文化傳統。在世界數學文化傳統中，以歐幾里得《幾何原本》為代表的希臘數學，無疑是西方演繹數學傳統的基礎，而以《九章算術》為代表的中國數學無疑是東方算法化數學傳統的基礎，它們東西輝映，共同促進了世界數學文化的發展。

　　中國數學通過絲綢之路傳播到印度、阿拉伯地區，后來經阿拉伯人傳入西方。而且在漢字文化圈內，一直影響著日本、朝鮮半島、越南等亞洲國家的數學發展。

　　2.3等差數列、等比數列綜合運用

　　1、設是等比數列，有下列四個命題：①是等比數列；②是等比數列；

　　③是等比數列；④是等比數列。其中正確命題的個數是（）

　　A、1 B、2 C、3 D、4

　　2、為等比數列，公比為，則數列是（）

　　A、公比為的等比數列 B、公比為的等比數列

　　C、公比為的等比數列 D、公比為的等比數列

　　3、已知等差數列滿足，則有（）

　　A、 B、 C、 D、

　　4、若直角三角形的三邊的長組成公差為3的等差數列，則三邊的長分別為（）

　　A、5，8，11 B、9，12，15 C、10，13，16 D、15，18，21

　　5、數列必為（）

　　A、等差非等比數列 B、等比非等差數列 C、既等差且等比數列 D、以上都不正確

　　6、若一個等差數列前3項的和為34，最后3項的和為146，且所有項的和為390，則這個

　　數列共有 A、10項 B、11項 C、12項 D、13項（）

　　7、在等差數列中，，且成等比數列，則的通項公式為（）

　　A、 B、 C、或 D、或

　　8、數列的前項的和為（）

　　A、 B、 C、 D、以上均不正確

　　9、等差數列中，，則前10項的和等于（）

　　A、720 B、257 C、255 D、不確定

　　10、某人于2000年7月1日去銀行存款元，存的是一年定期儲蓄；2001年7月1日他將

　　到期存款的本息一起取出，再加元后，還存一年的定期儲蓄，此后每年7月1日他都

　　按照同樣的方法，在銀行存款和取款；設銀行一年定期儲蓄利率不變，則到2005年

　　7月1日，他將所有的存款和利息全部取出時，取出的錢數共有多少元？（）

　　A、 B、 C、 D、

　　11、在某報《自測健康狀況》的報道中，自測血壓結果與相應年齡的統計數據如下表，

　　觀察表中的數列的特點，用適當的數填入表中空格內：

　　年齡（歲）

　　收縮壓（水銀柱，毫米）

　　110

　　115

　　120

　　125

　　130

　　135

　　145

　　舒張壓

　　12、兩個數列與都成等差數列，且，則=

　　13、公差不為0的等差數列的第2，3，6項依次構成一等比數列，該等比數列的公比=

　　14、等比數列中，，前項和為，滿足的最小自然數為

　　15、設是一個公差為的等差數列，它的前10項和，且

　　成等比數列．（1）證明；（2）求公差的值和數列的通項公式．

　　16、（1）在等差數列中，，求及前項和；

　　（2）在等比數列中，，求．

　　17、設無窮等差數列的前項和為．

　　（1）若首項，公差，求滿足的正整數；

　　（2）求所有的無窮等差數列，使得對于一切正整數都有成立．

　　18.甲、乙兩大型超市，2001年的銷售額均為P（2001年為第1年），根據市場分析和預測，甲超市前n年的總銷售額為，乙超市第n年的銷售額比前一年多.

　　（I）求甲、乙兩超市第n年的銷售額的表達式；

　　（II）根據甲、乙兩超市所在地的市場規律，如果某超市的年銷售額不足另一超市的年銷售額的20％，則該超市將被另一超市收購，試判斷哪一個超市將被收購，這個情況將在哪一年出現，試說明理由.

　　參考答案：

　　1.C; 2.C; 3.C; 4.B; 5.D; 6.D; 7.D; 8.D; 9.C; 10.C;11. 140，85; 12.. ; 13. 3; 14. 8

　　15、（1）略；（2）

　　16、（1），；

　　（2）當時，；當時，

　　17、（1）當時，，由得，

　　，即，又，所以．

　　（2）設數列的公差為，則在中分別取得

　　即，由（1）得或．

　　當時高中學習方法，代入（2）得：或；

　　當時，，從而成立；

　　當時，則，由，知，

　　，故所得數列不符合題意；

　　當時，或，當，時，，從而

　　成立；當，時，則，從而成立，綜上

　　共有3個滿足條件的無窮等差數列；或或．

　　另解：由得，整理得

　　對于一切正整數都

　　成立，則有解之得：或或

　　所以所有滿足條件的數列為：或或．

　　18. （I）設甲超市第n年的年銷售量為時

　　又時，.

　　設乙超市第n年的年銷售量為,

　　以上各式相加得：

　　（II）顯然時 , 故乙超市將被早超市收購.

　　令得得

　　時不成立. 而時成立.

　　即 n=11時成立. 答：這個情況將在2011年出現，且是甲超市收購乙超市．

　　高中數學公式（等比數列公式）_高中數學公式

　　高中各科目的學習對同學們提高綜合成績非常重要，大家一定要認真掌握，小編為大家整理了高中數學公式（等比數列公式），希望同學們學業有成!

　　(1)等比數列的通項公式是：An=A1×q^(n-1)

　　若通項公式變形為an=a1/q*q^n(n∈N*),當q>0時，則可把an看作自變量n的函數，點(n,an)是曲線y=a1/q*q^x上的一群孤立的點。

　　(2) 任意兩項am，an的關系為an=am·q^(n-m)

　　(3)從等比數列的定義、通項公式、前n項和公式可以推出： a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…,n}

　　(4)等比中項：aq·ap=ar^2，ar則為ap，aq等比中項。

　　(5) 等比求和：Sn=a1+a2+a3+.......+an

　　①當q≠1時，Sn=a1(1-q^n)/(1-q)或Sn=(a1-an×q)÷(1-q)

　　②當q=1時， Sn=n×a1(q=1)

　　記πn=a1·a2…an，則有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1

　　另外，一個各項均為正數的等比數列各項取同底數數后構成一個等差數列;反之，以任一個正數C為底，用一個等差數列的各項做指數構造冪Can，則是等比數列。在這個意義下，我們說：一個正項等比數列與等差數列是“同構”的。

　　為大家整理的高中數學公式（等比數列公式）就到這里，同學們一定要認真閱讀，希望對大家的學習和生活有所幫助。

　　高中數學公式：數學排列組合公式_高中數學公式

　　【摘要】鑒于大家對十分關注，小編在此為大家整理了此文“高中數學公式：數學排列組合公式”，供大家參考!

　　本文題目：高中數學公式：數學排列組合公式

　　1.排列及計算公式

　　從n個不同元素中，任取m(m≤n)個元素按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列;從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有排列的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數，用符號 p(n,m)表示.

　　p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(規定0!=1).

　　2.組合及計算公式

　　從n個不同元素中，任取m(m≤n)個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合;從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有組合的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數.用符號

　　c(n,m) 表示.

　　c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!);c(n,m)=c(n,n-m);

　　3.其他排列與組合公式

　　從n個元素中取出r個元素的循環排列數=p(n,r)/r=n!/r(n-r)!.

　　n個元素被分成k類，每類的個數分別是n1,n2,...nk這n個元素的全排列數為

　　n!/(n1!*n2!*...*nk!).

　　k類元素,每類的個數無限,從中取出m個元素的組合數為c(m+k-1,m).

　　排列(Pnm(n為下標，m為上標))

　　Pnm=n×(n-1)....(n-m+1);Pnm=n!/(n-m)!(注：!是階乘符號);Pnn(兩個n分別為上標和下標) =n!;0!=1;Pn1(n為下標1為上標)=n

　　組合(Cnm(n為下標，m為上標))

　　Cnm=Pnm/Pmm ;Cnm=n!/m!(n-m)!;Cnn(兩個n分別為上標和下標) =1 ;Cn1(n為下標1為上標)=n;Cnm=Cnn-m

　　【總結】2013年為小編在此為您收集了此文章“高中數學公式：數學排列組合公式”，今后還會發布更多更好的文章希望對大家有所幫助，祝您在學習愉快!

　　更多頻道：

　　每天“過電影”高考最后兩周沖刺數學如何準備

　　還有十余天，寒窗苦讀十幾年的們就要邁入(微博)考場了，這是人生中的一次重大考驗。在這最后的時間里高中化學，應該如何備考呢？這里提供一些考前的技巧，供廣大考生參考。

　　一周做兩份，總結應試技巧

　　在最后一個自習階段中，還是應該抓住基礎，關注中等難度的題目，至于難題實際上是考查你在考場上靈活應變，其中既考查了考生的數學綜合素質，也能體現素質。

　　現在這段時間主要對數學、已做過的各類進行梳理、歸納和總結，構建完整的、明晰的網絡結構，提煉涉及的數學解題思想、與技巧。前一階段，許多同學都做了很多的模擬，現在要好好地把做過的模擬試卷進行認真地翻閱，溫故而知新。數學是一門很強調邏輯的學科，除了必要的外，更重要在于理解，還須舉一反三、觸類旁通。

　　每天“過電影”，理清雙基和通法

　　在高考沖刺階段，“理性”應當體現在以下方面：一是要全盤考慮，統籌兼顧，有計劃、有目標，”理”、”練”、”記”相結合，切忌盲目蠻干。每天要弄清三個問題：我該做什么？我能做什么？我該怎么做？二是在綜合與模擬訓練中，仔細地讀、認真地想、有效地記、理智地做、靈活地用、深刻地悟。三是注重課本，注重考綱，注重基礎回歸。最后一周應當合理安排”過電影”，回歸基礎找感覺。要理清基本概念、原理等知識的細節、內涵、內蘊、變通形式；理清知識網絡與結構體系；理清重點、熱點題型的解題思路、方法、規律、步驟與注意事項等。

　　吃透評分標準，答題注意踩分點

　　答題時，應當注意高考答題”踩點得分”原則，將解題策略轉化為得分點，防止“跳步”、”以圖代證”等；要防止一味求”快”，導致”快一點，錯一片”。對于短時間內難以弄懂弄通的內容或綜合程度高、難度大、耗時多的問題則要學會取舍，大膽放棄。確保”會做的題拿，不會的題盡量不得零分”。

　　建議同學們在臨考前自練近兩年的高題(或有標準答案和評分標準的綜合卷)，并且自評自改，精心研究評分標準，吃透評分標準，對照自己的習慣，時刻提醒自己，力爭減少無謂的失分，保證會做的不錯不扣，即使不完全會做，也要理解多少做多少，以增加得分機會。

　　科學安排時間，理性應對難題

　　高考數學考試中要注意的幾個問題：(1)合理用時，科學排序。由于高考有時間的限定，因而合理用時就顯得很重要，我的建議是客觀題與主觀題各控制在一小時左右，答題先易后難，先同后異，先熟后生，先高后低，立足中下題目，一次。 (2)掌握竅門，增加得分。每位學生都應樹立必勝信心，能寫則寫，能得分就決不放棄，要知道高考是分段給分。

　　在具體遇到不會做或一些做不出來的題目時，我們可采用以下一些技術：①缺步解答，一個困難的問題往往可分解為一個個小問題，我們可以解決其中的一部分問題，能寫幾步就寫幾步。②跳步解答，我們可以從條件推結論到某一步，再從結論推條件到某一步，然后將兩部分接起來，有時可以收到高效。③退步解答，”退一步海闊天空”“以退為進”，這些都是我們的解題策略，當某個問題不易解決時，可以考慮問題的特殊情形，局部情形等，有時往往茅塞頓開。④倒步解答，在遇到一些正面情形多，或遇到至多、至少等語句的題目時，我們常常可考慮用反證法。或遇到從條件推結論較困難時，我們是否可換種方式，比如要證明這個結論需要什么樣的條件。要知道，逆向思考充滿著創造性，這是與當前的高考精神一致的。⑤輔助解答，輔助解答的內容十分廣泛，如準確作圖，把題目中的條件轉換成數學表達式等。有的時候在解決次要矛盾的過程中解決了主要矛盾。另外書寫規范，完整，字跡漂亮等也屬于輔助解答。

　　2016中考語文輔導：怎樣提高文言文閱讀效率

　　編者按：小編為大家收集了“2013中考語文輔導：怎樣提高文言文閱讀效率”，供大家參考，希望對大家有所幫助!

　　首先，可以從考點入手，理清文言文考查哪些知識點。

　　從近3年中考試題看，課內和課外文言文是一脈相承的，基本從三個方面考查：詞語的解釋;句子的理解和翻譯;文段內容的理解和分析。

　　課內文言文閱讀是以選擇題的形式出現，課外文言文閱讀以主觀題形式出現，其中詞語解釋主要考查書下注解或是書下注解的遷移。

　　例如：2008年第17題“豈信然邪”中“信然”曾經在九年級上冊《隆中對》中學過，2009年第14題“楚莊王欲伐陳”中“伐”曾經在九年級下冊《曹劌論戰》中學過。2010年第14題“伯牙善鼓琴”“善哉”中，第一個“善”在七年級下冊《口技》，“京中有善口技者”，擅長;第二個“善”在九年級下冊《公輸》，書下注解為“好啊”。

　　其次，明確文言文應落實哪些必會的知識點。

　　文言必會知識主要是三大塊：實詞虛詞的解釋;重點句式;內容簡析。

　　1.中考不考查虛詞，但掌握一些簡單的虛詞有利于理解文章，比如“之、其、而、于”等的用法。實詞可以從一詞多義、古今異義、通假字等詞語的用法角度歸類積累。

　　例如：中考文言文加點字理解的考核主要體現在兩個方面：一是該詞語在課內文言文中曾學過;二是該詞語可以根據前后文的意思和詞語的本意進行推測。

　　因此，在日常學習中，同學們要注意根據書下注釋加強課內文言詞匯的積累，要學會聯想記憶，把同一個實詞出現在不同文章中的意思整理在一起，因為一詞多義是文言文最常見的語言現象。同時解題時要養成習慣，先提醒自己與學過的課文相聯系。

　　2.文言特殊句式，一般指的是文言文中不同于現代漢語表達習慣的某些特殊句式。主要有：判斷句、被動句、省略句和倒裝句等。要根據句式特點翻譯句子，例如：省略句，應根據文章前后聯系補足省略部分;判斷句，應根據句式特點，翻譯出判斷詞“是”;倒裝句，翻譯時應該注意調整語序。

　　而且翻譯句子最好采用直譯的方法，把文言文句子的詞語用現代漢語一一對應地翻譯出來，再根據文言句式與現代漢語語法結構和習慣，調順句子。

　　例如：2009年第15題，翻譯句子“城郭高，溝洫深，蓄積多也。”答題時只要把握字斟句酌的直譯原則即可迎刃而解——“城墻很高，護城河很深，積蓄的糧食財物很多。”

　　再如：2010年第15題，翻譯句子“子之聽夫志，想象猶吾心也。”這是一個判斷句，譯為“你聽琴時所想到的，就像是我彈琴時所想到的。”

　　3.對文章的鑒賞分析方面。具體分析時，要注意理解短文所蘊含的道理，學會從文章中提取重要信息，把握的基本觀點和情感傾向。

　　例如：2008年第19題“從文中來看，王羲之能夠成為一代書圣的重要原因是什么?”可以直接從文章中篩選出解題信息“則其所能，蓋亦以精力自致者，非天成也。”也可以用自己的話概括表述為“王羲之的書法造詣并非天生而成，而是通過勤學苦練才達到成熟的。”

　　又例如：2009年第16題“對楚莊王伐陳這件事，使者和寧國的意見為什么會截然相反?”首先從文章中提取信息“其城郭高，溝洫深”和“賦斂重也，則民怨上矣。”在此基礎上，可以結合題目要求再結合《孟子兩章》，自己的概括為：二人看問題的角度不同，使者看重的是“地利”，而寧國看重的是“人和”。

　　再如：2010年第16題“從文中哪句話可以看出子期堪稱伯牙的‘知音’?結合文意談談你對‘知音’的理解。”第一問原文中有句子，第二問是結合生活實際的開放題只要能談到“彼此了解，心心相印，心意相通”即可。

　　初三的同學們會在這兩冊書中學到更多的文言文，建議同學們按這些方法試試，切記一定要把文言知識學活了，會用了。

高二數學的學習技巧2

　　數學習題無非就是數學概念和數學思想的組合應用，弄清數學基本概念、基本定理、基本方法是判斷題目類型、知識范圍的前提，是正確把握解題方法的依據。只有概念清楚，方法全面，遇到題目時，就能很快的得到解題方法，或者面對一個新的習題，就能聯想到我們平時做過的習題的方法，達到迅速解答。弄清基本定理是正確、快速解答習題的前提條件，特別是在立體幾何等章節的復習中，對基本定理熟悉和靈活掌握能使習題解答條理清楚、邏輯推理嚴密。反之，會使解題速度慢，邏輯混亂、敘述不清。

　　那么如何抓基礎呢

　　1、看課本

　　2、在做練習時遇到概念題是要對概念的內涵和外延再認識，注意從不同的側面去認識、理解概念。

　　3、理解定理的條件對結論的約束作用，反問：如果沒有該條件會使定理的結論發生什么變化

　　4、歸納全面的解題方法。要積累一定的典型習題以保證解題方法的`完整性。

　　5、認真做好我們網校同步課堂里面的每期的練習題，采用循環交替、螺旋式推進的方法，克服對基本知識基本方法的遺忘現象。