程序員面試題精選100題(63)-數組中三個只出現一次的數字[算法]

題目：一個數組中有三個數字a、b、c只出現一次，其他數字都出現了兩次。請找出三個只出現一次的數字。

分析：我們討論了如何在一個數組中找出兩個只出現一次的數字。在這道題中，如果我們能夠找出一個只出現一次的數字，剩下兩個只出現一次的數字就很容易找出來了。

如果我們把數組中所有數字都異或起來，那最終的結果（記為x）就是a、b、c三個數字的異或結果（x=a^b^c）。其他出現了兩次的數字在異或運算中相互抵消了。

我們可以證明異或的結果x不可能是a、b、c三個互不相同的數字中的任何一個。我們用反證法證明。假設x等于a、b、c中的某一個。比如x等于a，也就是a=a^b^c。因此b^c等于0，即b等于c。這與a、b、c是三個互不相同的三個數相矛盾。

由于x與a、b、c都各不相同，因此x^a、x^b、x^c都不等于0。

我們定義一個函數f(n)，它的結果是保留數字n的二進制表示中的最后一位1，而把其他所有位都變成0。比如十進制6表示成二進制是0110，因此f(6)的結果為2（二進制為0010）。f(x^a)、f(x^b)、f(x^c)的結果均不等于0。

接著我們考慮f(x^a)^f(x^b)^f(x^c)的結果。由于對于非0的n，f(n)的結果的二進制表示中只有一個數位是1，因此f(x^a)^f(x^b)^f(x^c)的結果肯定不為0。這是因為對于任意三個非零的數i、j、k，f(i)^f(j)的結果要么為0，要么結果的二進制結果中有兩個1。不管是那種情況，f(i)^f(j)都不可能等于f(k)，因為f(k)不等于0，并且結果的二進制中只有一位是1。

于是f(x^a)^f(x^b)^f(x^c)的結果的二進制中至少有一位是1。假設最后一位是1的位是第m位。那么x^a、x^b、x^c的結果中，有一個或者三個數字的第m位是1。

接下來我們證明x^a、x^b、x^c的三個結果第m位不可能都是1。還是用反證法證明。如果x^a、x^b、x^c的第m位都是1，那么a、b、c三個數字的第m位和x的第m位都相反，因此a、b、c三個數字的第m位相同。如果a、b、c三個數字的第m位都是0，x=a^b^c結果的第m位是0。由于x和a兩個數字的第m位都是0，x^a結果的第m位應該是0。同理可以證明x^b、x^c第m位都是0。這與我們的假設矛盾。如果a、b、c三個數字的第m位都是1，x=a^b^c結果的第m位是1。由于x和a兩個數字的第m位都是1，x^a結果的第m位應該是0。同理可以證明x^b、x^c第m位都是0。這還是與我們的假設矛盾。

因此x^a、x^b、x^c三個數字中，只有一個數字的第m位是1。于是我們找到了能夠區分a、b、c三個數字的標準。這三個數字中，只有一個數字滿足這個標準，而另外兩個數字不滿足。一旦這個滿足標準數字找出來之后，另外兩個數字也就可以找出來了。

這種思路的C++代碼如下：

void getThreeUnique(vector& numbers, vector& unique)

{

if(numbers.size() < 3)

return;

int xorResult = 0;

vector::iterator iter = numbers.begin();

for(; iter != numbers.end(); ++iter)

xorResult ^= *iter;

int flags = 0;

for(iter = numbers.begin(); iter != numbers.end(); ++iter)

flags ^= lastBitOf1(xorResult ^ *iter);

flags = lastBitOf1(flags);

// get the first unique number

int first = 0;

for(iter = numbers.begin(); iter != numbers.end(); ++iter)

{

if(lastBitOf1(*iter ^ xorResult) == flags)

first ^= *iter;

}

unique.push_back(first);

// move the first unique number to the end of array

for(iter = numbers.begin(); iter != numbers.end(); ++iter)

{

if(*iter == first)

{

swap(*iter, *(numbers.end() - 1));

break;

}

}

// get the second and third unique numbers

getTwoUnique(numbers.begin(), numbers.end() - 1, unique);

}

int lastBitOf1(int number)

{

return number & ~(number - 1);

}

void getTwoUnique(vector::iterator begin, vector::iterator end, vector& unique)

{

int xorResult = 0;

for(vector::iterator iter = begin; iter != end; ++iter)

xorResult ^= *iter;

int diff = lastBitOf1(xorResult);

int first = 0;

int second = 0;

for(vector::iterator iter = begin; iter != end; ++iter)

{

if(diff & *iter)

first ^= *iter;

else

second ^= *iter;

}

unique.push_back(first);

unique.push_back(second);

}

上文中getThreeUnique從數組中找出三個只出現一次的數字，而getTwoUnique從數組中找出兩個只出現一次的數字。lastBitOf1實現分析中的函數f(n)的功能，它只保留數字n的二進制表示中的最后一位1，而把其他所有位都變成0。

在函數getThreeUnique中，我們通過第一個for循環把a、b、c三個數字異或的結果保存到xorResult中，接著在第二個for循環中求出f(x^a)^f(x^b)^f(x^c)并保存到變量flags中。在語句flags=lastBitOf1(flags)求出f(x^a)^f(x^b)^f(x^c)結果的二進制中最后一位是1的位。并根據這一數位求出第一個只出現一次的數字first。接著把first交換到數組的最后，并在數組的前n-1個數字中求出另外兩個只出現一次的數字。

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