因數與倍數的教材分析

　　“因數與倍數”這一單元的知識是學生學習數學不可或缺的基礎。之前，學生已經學習了一定的整數知識，如整數的認識、整數的四則混合運算及其應用。本單元將進一步認識整數的性質，主要學習內容包括：因數與倍數，2、5和3的倍數的特征，質數與合數。因數、倍數、質數、合數等概念以及最大公因數、最小公倍數等內容都是初等數論的基礎知識。數學一直被譽為“科學的皇后”，而數論更被譽為“數學的皇后”。單元的知識作為數論知識的基礎，是小學數學教材中的重要內容。一方面，學習分數，特別是學習約分、通分，需要以因數、倍數的概念為基礎，進一步掌握公因數、最大公因數和公倍數、最小公倍數的概念，需以質數、合數的概念為基礎，同時掌握2、5和3的倍數的特征。另一方面，學習了本單元的知識，能使學生加深對整數與整數除法的認識，加之這些知識比較抽象，而且概念間的聯系非常緊密，所以也有助于發展學生的數學思維。

　　一、與實驗教材(《義務教育課程標準實驗教科書數學五年級》，下同)的主要區別

　　1.與實驗教材相比，修訂后的教材不再出現整除的概念，因數和倍數的概念由整數除法算式引出，而不是乘法，這樣便于學生感知因數與倍數的本質內涵，領悟這兩個概念不是針對整數乘法，而是反映整數除法中余數為0的情況，為后面找一個數的因數和倍數做準備。

　　2.與實驗教材相比，修訂后的教材更加明確了因數與倍數的相互依存的關系。

　　3.與實驗教材相比，在學習2、5、3的倍數的特征時，修訂后的教材均采用了百數表，這樣使學生的探究學習更加開放，有利于提高學生獨立學習的能力和發展學生的創造性思維。

　　4.與實驗教材相比，修訂后的教材增加了兩數之和的奇偶性的探討，讓學生在探究過程中獲得數學活動的經驗，豐富解決問題的策略。

　　二、教材例題分析

　　(一)因數和倍數

　　例1：因數和倍數的概念

　　例1教材給出9個除法算式，讓學生試著分類;接著出示以“商是整數且沒有余數”為分類標準分成兩類的一種結果。在此基礎上由第一類中的整數除法，引出因數和倍數的概念，并舉例說明。

　　從具體的整數除法等式到抽象的數學概念，再由抽象的概念回到具體，舉例說明概念。這樣的思維轉換過程有利于學生認知概念，切實掌握概念。通過讓學生說一說第一類中每個算式，誰是誰的因數，誰是誰的倍數，進一步體會“因數和倍數是互相依存的”。

　　在例1的最后，教材指出了本單元中的數的研究范圍是大于0的自然數。

　　例2：一個數的因數的求法

　　例2直接提出問題：“18的因數有哪幾個?”引導學生利用因數的概念從小到大依次寫出，然后再用集合圖表示出一個數的全部因數，為后面用交集圖表示兩個數的公因數打下基礎，并使學生初步體會一個數的因數個數是有限的。

　　例3：一個數的倍數的求法

　　例3教材直接提出問題：“2的倍數有哪些?”因為被除數相當于積，所以求2的倍數可將2和任意非零自然數相乘得到。學生在列乘法算式時就會發現這樣的算式是列不完的，因此，2的倍數的個數是無限的。接著也用集合圖表示出2的倍數，為后面學習交集圖表示兩個數的公倍數奠定基礎。

　　最后引導學生抽象概括出一個數的最小、最大因數和最小倍數分別是什么，總結出一個數的因數、倍數的個數的結論，在其中滲透從個別到全體、從具體到一般的抽象歸納思想方法。

　　(二)2、5、3的倍數的特征

　　例1：2、5的倍數的特征

　　例1教材采用了百數表，讓學生畫圈、畫框、觀察、發現、總結。比如，將5的倍數圈起來，學生馬上就能發現5的倍數都集中在兩列上，特征也非常明顯，一列個位都是5，另一列個位都是0，因此學生能順利的歸納出5的倍數的特征。同樣道理，將2的倍數框起來，也能夠顯而易見地發現其特征。

　　為了便于學生總結自己的發現，教材以學生對話的形式，給出5、2倍數的特征的不完整描述，讓學生把特征填寫完整。在總結了2的倍數的特征的基礎上，教材引出了偶數、奇數的概念。完成了做一做，學生能夠歸納出既是2的倍數也是5的倍數的數的特征。

　　例2：3的倍數的特征

　　例2教材仍采用百數表，讓學生先圈數，再根據提示，觀察、思考，回答問題，獲得新的發現。3的倍數的特征比較隱蔽，且容易受2和5倍數特征的觀察定式、思維定式的影響。為了盡量避免已學知識對新知識學習的負遷移，教材第(2)條指導語，提出兩個問題，啟發學生排除只看到個位的定式，然后通過第(3)條指導語，提示變換觀察的角度。

　　兩個女孩的對話，說出了探究過程中思維轉換的關鍵內容。小精靈的提示，引導學生進一步驗證規律。

　　(三)質數和合數

　　質數和合數的概念

　　教材首先讓學生找出1—20各數的全部因數，然后按照每個數的因數的個數進行分類。在此基礎上給出質數、合數的概念。同時指出1既不是質數，也不是合數。在小學階段學生可以理解為1只有一個因數，質數有兩個因數，合數有三個及多因數。

　　例1：找出100以內所有的質數

　　例1教材又采用了百數表，讓學生找出100以內的所有質數。通過學生的對話，介紹了兩種操作方法。其中依次劃去每個質數本身之外的所有倍數的方法，叫做“篩法”，它是數論中有著廣泛應用的一個初等方法。

　　由于小學用到的質數比較少，所以教材中只要求學生找出100以內的所有質數。這些質數不必要求學生都背熟，但是熟悉20以內的質數還是必要的。

　　例2：探索兩數之和的奇偶性

　　例2是以探索兩數之和的奇偶性為例，讓學生在探究過程中獲得數學活動的經驗，豐富解決問題的策略。

　　教材根據奇數、偶數相加的三種情況，提出了三個問題。“閱讀與理解”環節給出了三個問題的一種表征方式，即用算式表示。“分析與解答”環節提示了三種獲取結論的方法，即舉例、說理、圖示。事實上，這三種方法結合使用，可以提高結論的可靠性，增強學生對結論的理解和確信感。“回顧與反思”環節給出了用大數試一試的檢驗方法，并提出問題，請學生思考其他的驗證方法。也就是啟發學生聯系加減法的關系想到：如果“奇數+偶數=奇數”是對的，那么一定有“奇數—奇數=偶數”“奇數—偶數=奇數”。這樣既驗證和的奇偶性，又獲得了差的奇偶性的結論。作為教師必須清楚，舉例驗證本質上只是不完全歸納，不是證明。

　　本單元的教學重點是：因數和倍數的概念;2、5、3的倍數的特征;質數和合數的概念。教學難點是概念之間的聯系和區別，在建立概念、運用概念的過程中，逐步發展數學的抽象能力與推理能力。

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