《余弦定理》教學設計

　　作為一名教職工，總歸要編寫教學設計，教學設計是教育技術的組成部分，它的功能在于運用系統方法設計教學過程，使之成為一種具有操作性的程序。你知道什么樣的教學設計才能切實有效地幫助到我們嗎？以下是小編為大家收集的《余弦定理》教學設計，僅供參考，希望能夠幫助到大家。

《余弦定理》教學設計1

　　一. 教學目標：

　　1知識與技能：認識正弦、余弦定理，了解三角形中的邊與角的關系

　　2過程與方法：通過具體的探究活動，了解正弦、余弦定理的內容，并從具體的實例掌握正弦、余弦定理的應用

　　情感態度與價值觀：通過對實例的探究，體會到三角形的和諧美，學會穩定性的重要

　　二. 教學重、難點：

　　1. 重點：

　　正弦、余弦定理應用以及公式的變形 2. 難點：

　　運用正、余弦定理解決有關斜三角形問題。

　　知 識 梳 理

　　1．正弦定理和余弦定理

　　在△ABC中，若角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，則

　　(1)S＝2ah(h表示邊a上的高)． 111

　　(2)S＝2bcsin A＝2sin C＝2acsin B. 1

　　(3)S＝2r(a＋b＋c)(r為△ABC內切圓半徑)

　　問題1：在△ABC中，a＝3，b2，A＝60°求c及B C 問題2在△ABC中,c=6 A=30° B=120°求a b及C

　　問題3在△ABC中，a＝5，c＝4，cos A＝16，則b＝

　　通過對上述三個較簡單問題的解答指導學生總結正余弦定理的應用; 正弦定理可以解決

　　(1)已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角；

　　(2)已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊和其他兩角

　　余弦定理可以解決

　　(1)已知三邊，求三個角；

　　(2)已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩角

　　我們不難發現利用正余弦定理可以解決三角形中“知三求三” 知三中必須要有一邊 應用舉例 【例1】 (1)(20xx·湖南卷)在銳角△ABC中，角A，B所對的邊長分別為a，b.若2asin B3b，則角A等于 ( )．ππππA.3B.4 C.6 12

　　(2)(20xx·杭州模擬)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a＝1，c＝2，B＝45°，則sin C＝______.

　　解析 (1)在△ABC中，由正弦定理及已知得2sin A·sin B＝3sin B， ∵B為△ABC的內角，∴sin B≠0. 3

　　∴sin A＝2又∵△ABC為銳角三角形， π?π?

　　∴A∈?02?，∴A＝3??

　　(2)由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B＝1＋32－2×2＝25，即b＝5. c·sin B

　　所以sin Cb4

　　答案 (1)A (2)5【訓練1】 (1)在△ABC中，a＝3，c＝2，A＝60°，則C＝

　　A．30°B．45° C．45°或135°

　　D．60°

　　(2)在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若a2－b2＝3bc，sin C＝3sin B，則A＝ A．30°

　　B．60° C．120°

　　D．150°

　　232解析 (1)由正弦定理，得sin 60°sin C，解得：sin C＝2，又c＜a，所以C＜60°，所以C＝45°. (2)∵sin C＝23sin B，由正弦定理，得c＝23b， b2＋c2－a2－3bc＋c2－3bc＋3bc3∴cos A＝2bc＝＝2bc2bc2， 又A為三角形的內角，∴A＝30°. 答案 (1)B (2)A

　　規律方法 已知兩角和一邊，該三角形是確定的，其解是唯一的；已知兩邊和一邊的對角，該三角形具有不唯一性，通常根據三角函數值的有界性和大邊對大角定理進行判斷．

　　【例2】 (20xx·臨沂一模)在△ABC中，a，b，c分別為內角A，B，C的對邊，且2asin A＝(2b－c)sin B＋(2c－b)sin C. (1)求角A的`大小；

　　(2)若sin B＋sin C＝3，試判斷△ABC的形狀． 解 (1)由2asin A＝(2b－c)sin B＋(2c－b)sin C， 得2a2＝(2b－c)b＋(2c－b)c，即bc＝b2＋c2－a2， b2＋c2－a21

　　∴cos A＝2bc＝2，∴A＝60°.

　　(2)∵A＋B＋C＝180°，∴B＋C＝180°－60°＝120°. 由sin B＋sin C＝3，得sin B＋sin(120°－B)＝3， ∴sin B＋sin 120°cos B－cos 120°sin B＝3. 33

　　∴2sin B＋2B＝3，即sin(B＋30°)＝1. ∵0°

　　∴B＋30°＝90°，B＝60°.

　　∴A＝B＝C＝60°，△ABC為等邊三角形．

　　規律方法 解決判斷三角形的形狀問題，一般將條件化為只含角的三角函數的關系式，然后利用三角恒等變換得出內角之間的關系式；或將條件化為只含有邊的關系式，然后利用常見的化簡變形得出三邊的關系．另外，在變形過程中要注意A，B，C的范圍對三角函數值的影響．

　　課堂小結

　　1．在解三角形的問題中，三角形內角和定理起著重要作用，在解題時要注意根據這個定理確定角的范圍及三角函數值的符號，防止出現增解或漏解．

　　2．正、余弦定理在應用時，應注意靈活性，尤其是其變形應用時可相互轉化．如a2＝b2＋c2－2bccos A可以轉化為sin2 A＝sin2 B＋sin2 C－2sin Bsin Ccos A，利用這些變形可進行等式的化簡與證明

《余弦定理》教學設計2

　　一、 教學內容解析

　　人教版《普通高中課程標準實驗教科書·必修（五）》（第2版）第一章《解三角形》第一單元第二課《余弦定理》。余弦定理是繼正弦定理教學之后又一關于三角形的邊角關系準確量化的一個重要定理。通過利用向量的數量積方法推導余弦定理，正確理解其結構特征和表現形式，解決“邊、角、邊”和“邊、邊、邊”問題，初步體會余弦定理解決“邊、邊、角”，體會方程思想，激發學生探究數學，應用數學的潛能,從而進一步運用它們解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題，使學生能更深地體會數學來源于生活，數學服務于生活。

　　二、學生學習情況分析

　　本課之前，學生已經學習了三角函數、向量基本知識和正弦定理有關內容，對于三角形中的邊角關系有了較進一步的認識。在此基礎上利用向量方法探求余弦定理，學生已有一定的學習基礎和學習興趣。總體上學生應用數學知識的意識不強，創造力較弱，看待與分析問題不深入，知識的系統性不完善，使得學生在余弦定理推導方法的探求上有一定的難度，在發掘出余弦定理的結構特征、表現形式的數學美時，能夠激發學生熱愛數學的思想感情；從具體問題中抽象出數學的本質，應用方程的思想去審視，解決問題是學生學習的一大難點。

　　三、設計思想

　　新課程的數學提倡學生動手實踐，自主探索，合作交流，深刻地理解基本結論的本質，體驗數學發現和創造的歷程，力求對現實世界蘊涵的一些數學模式進行思考，作出判斷；同時要求教師從知識的傳授者向課堂的設計者、組織者、引導者、合作者轉化，從課堂的執行者向實施者、探究開發者轉化。本課盡力追求新課程要求，利用師生的互動合作，提高學生的數學思維能力，發展學生的數學應用意識和創新意識，深刻地體會數學思想方法及數學的應用，激發學生探究數學、應用數學知識的潛能。

　　四、 教學目標解析

　　1、使學生掌握余弦定理及推論，并會初步運用余弦定理及推論解三角形。

　　2、通過對三角形邊角關系的探究，能證明余弦定理，了解從三角方法、解析方法、向量方法和正弦定理等途徑證明余弦定理。

　　3、在發現和證明余弦定理中，通過聯想、類比、轉化等思想方法比較證明余弦定理的不同方法，從而培養學生的發散思維。

　　4、能用余弦定理解決生活中的實際問題，可以培養學生學習數學的興趣，使學生進一步認識到數學是有用的。

　　五、 教學問題診斷分析

　　1、通過前一節正弦定理的學習，學生已能解決這樣兩類解三角形的問題：

　　①已知三角形的任意兩個角與邊，求其他兩邊和另一角；

　　②已知三角形的任意兩個角與其中一邊的對角，計算另一邊的對角，進而計算出其他的邊和角。

　　而在已知三角形兩邊和它們的夾角，計算出另一邊和另兩個角的問題上，學生產生了認知沖突，這就迫切需要他們掌握三角形邊角關系的另一種定量關系。所以，教學的重點應放在余弦定理的發現和證明上。

　　2、在以往的教學中存在學生認知比較單一，對余弦定理的證明方法思考也比較單一，而本節的教學難點就在于余弦定理的證明。如何啟發、引導學生經過聯想、類比、轉化多角度地對余弦定理進行證明，從而突破這一難點。

　　3、學習了正弦定理和余弦定理，學生在解三角形中，如何適當地選擇定理以達到更有效地解題，也是本節內容應該關注的問題，特別是求某一個角有時既可以用余弦定理，也可以用正弦定理時，教學中應注意讓學生能理解兩種方法的利弊之處，從而更有效地解題。

　　六、 教學支持條件分析

　　為了將學生從繁瑣的計算中解脫出來，將精力放在對定理的證明和運用上，所以本節中復雜的計算借助計算器來完成。當使用計算器時，約定當計算器所得的三角函數值是準確數時用等號，當取其近似值時，相應的運算采用約等號。但一般的代數運算結果按通常的運算規則，是近似值時用約等號。

　　七、 教學過程設計

　　1、教學基本流程：

　　①從一道生活中的實際問題的解決引入問題，如何用已知的兩條邊及其所夾的角來表示第三條邊。

　　②余弦定理的證明：啟發學生從不同的角度得到余弦定理的證明，或引導學生自己探索獲得定理的`證明。

　　③應用余弦定理解斜三角形。

　　2、教學情景：

　　①創設情境，提出問題

　　問題1：現有卷尺和測角儀兩種工具，請你設計合理的方案，來測量學校前生物島邊界上兩點的最大距離（如圖1所示，圖中AB的長度）。

　　【設計意圖】：來源于生活中的問題能激發學生的學習興趣，提高學習積極性。讓學生進一步體會到數學來源于生活，數學服務于生活。

　　師生活動：教師可以采取小組合作的形式，讓學生設計方案嘗試解決。

　　學生1—方案1：如果卷尺足夠長的話，可以在島對岸小路上取一點C（如圖2），用卷尺量出AC和BC的長，用測角儀測出∠ACB的大小， 那么△ABC的大小就可以確定了。感覺似乎在△ABC中已知AC、BC的長及夾角C的大小，可以求AB的長了。

　　其他學生有異議，若卷尺沒有足夠長呢？

　　學生2—方案2：在島對岸可以取C、D 兩點（如圖3），用卷尺量出CD的長，再用測角儀測出圖中∠1、∠2、∠3、∠4的大小。在△ACD中，已知∠ACD、∠ADC及CD，可以用正弦定理求AC，同理在△BCD中，用正弦定理求出BC。那么在△ABC中，已知AC、BC及∠ACB，似乎可以求AB的長了。

　　教師：兩種方案歸根到底都是已知三角形兩邊及夾角，求第三邊的問題。能否也象正弦定理那樣，尋找它們之間的某種定量關系？

　　【設計意圖】給學生足夠的空間和展示的平臺，充分發揮學生的主體地位。

　　②求異探新，證明定理

　　問題2：你能判斷下列三角形的類型嗎？

　　1、以3，4，5為各邊長的三角形是_____三角形

　　以2，3，4為各邊長的三角形是_____三角形

　　以4，5，6為各邊長的三角形是_____三角形 2、在△ABC中a=8，b=5，∠c=60°，你能求c邊長嗎？

　　【設計意圖】：幫助學生分析相關內容，從多角度看待問題，用實踐進行檢驗。師生活動：引導學生從特殊入手，用已有的初中所學的平面幾何的有關知識來研究這一問題，從而尋找出這些量之間存在的某種定量關系。

　　問題3：你能夠有更好的具體的量化方法嗎？

　　幫助學生從平面幾何、三角函數、向量知識、坐標法等方面進行分析討論，選擇簡潔的處理工具，引發學生的積極討論。

　　【設計意圖】：引導學生從相關知識入手，選擇簡潔的工具。

　　學生3：在△ABC中，如圖4，過C作CD⊥AB，垂足為D。

　　在Rt△ACD中，AD=bsin∠1,CD= bcos∠1;

　　在Rt△BCD中，BD=asin∠2, CD=acos∠2;

　　學生4：如圖5，過A作AD⊥BC，垂足為D。

　　學生5：如圖5，AD = bsinC，CD = bcosC，2 22 2 2∴c=（bsinC）+（a- bcosC）= a+b-2abcosC

　　2 2 22 2 2類似地可以證明b= a+c-2accosB，c= a+b-2abcosC。

　　教師總結：以上的證明都是把斜三角形轉化為兩個直角三角形，化一般為特殊，再利用勾股定理來證明。并且進一步指出以上的證明還不嚴密，還要分∠C為鈍角或直角時，同樣都可以得出以上結論，這也正是本節課的重點—余弦定理。

　　【設計意圖】：首先肯定學生成果，進一步的追問以上思路是否完整，可以使學生的思維更加嚴密。

　　師生活動：得出了余弦定理，教師還應引導學生聯想、類比、轉化，思考是否還有其他方法證明余弦定理。

　　教師：在前面學習正弦定理的證明過程種，我們用向量法比較簡便地證明了正弦定理，那么在余弦定理的證明中，你會有什么想法？

　　【設計意圖】：通過類比、聯想，讓學生的思維水平得到進一步鍛煉和提高，體驗到成功的樂趣。

　　學生6：如圖6，教師：以上的證明避免了討論∠C是銳角、鈍角或直角，思路簡潔明了，過程簡單，體現了向量工具的作用。又向量可以用坐標表示，AB長度又可以聯系到平面內兩點間的距離公式，你會有什么啟發？

　　【設計意圖】：由向量又聯想到坐標，引導學生從直角坐標中用解析法證明定理。

　　學生7：如圖7，建立直角坐標系，在△ABC中，AC = b，BC = a .

　　且A（b，0），B（acosC，asinC），C（0，0），　　【設計意圖】：通過以上平面幾何知識、向量法、解析法引導學生體會證明余弦定理，更好地讓學生主動投入到整個數學學習的過程中，培養學生發散思維能力，拓展學生思維空間的深度和廣度。

　　【歸納概括】：余弦定理：

　　三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。

　　【設計意圖】：知識歸納比較，發現特征，加強識記

　　【結構分析】：觀察余弦定理，指明了三邊長與其中一角的具體關系，并發現a與A，b與B，C與c之間的對應表述，同時發現三邊長的平方在余弦定理中同時出現。 【知識聯系】：余弦定理的推論：

　　【設計意圖】：在學生探究數學美，欣賞美的過程中，體會數學造化之神奇，學生可以興趣盎然地掌握公式特征、結構及其他變式。

　　③運用定理，解決問題

　　讓學生觀察余弦定理及推論的構成形式，思考用余弦定理及推論可以解決那些類型的三角形問題。

　　例1：①在△ABC中，已知a = 2，b = 3，∠C = 60°，求邊c。

　　②在△ABC中，已知a = 7，b = 3，c = 5，求A、B、C。

　　【設計意圖】：讓學生理解余弦定理及推論解決兩類最基本問題，既①已知三角形兩邊及夾角，求第三邊；②已知三角形三邊，求三內角。

　　例2：已知△ABC中求c邊長

　　分析：（1）用正弦定理分析引導

　　（2）應用余弦定理構造關于C的方程求解。

　　（3）比較兩種方法的利弊。能用正弦定理解決的問題均可以用余弦定理解決，更具有優越性。

　　④練習檢測：

　　1、某人站在山頂向下看一列車隊向山腳駛來，他看見第一輛車與第二輛車的俯角差等于他看見第二輛與第三輛車的俯角差，則第一輛車與第二輛車的距離與第二輛車的距離之間關系為（ ）

　　A：> B：=

　　C：< D：大小不確定

　　2、銳角△ABC中b=1，c=2，則a取值為（ ）

　　A：（1,3） B：（1,）

　　C：（，2） D：（，）

　　3、在△ABC中若有，你能判斷這個三角形的形狀嗎？

　　若呢？

　　3、小結

　　本節課的主要內容是余弦定理的證明，從平面幾何、向量、坐標等各個不同的方面進行探究，得出的余弦定理無論在什么形狀的三角形中都成立，勾股定理也只不過是它的特例。所以它很“完美”，從式子上又可以看出其具“簡捷、和諧、對稱”的美，其變式即推論也很協調。

　　4、作業

　　第1題：用正弦定理證明余弦定理。

　　【設計意圖】：繼續要求學生擴寬思路，用正弦定理把余弦定理中的邊都轉化成角，然后利用三角公式進行推導證明。而這種把邊轉化為角、或把角轉化為邊的思想正是我們解決三角形問題中的一種非常重要的思想方法。

　　第2題：在△ABC中，已知，求角A和C和邊c。

　　【設計意圖】：本題可以通過正弦定理和余弦定理來求解，讓學生體會兩種定理在解三角形問題上的利弊。運用正弦定理求角可能會漏解，運用余弦定理求角不會漏解，但是計算可能較繁瑣。

　　5、板書設計：

　　1、推導余弦定理及其推論

　　2、例1、例2

　　3、練習指導

　　4、小結投影正弦、余弦定理，比較它們理解知識

　　八：教學反思

　　1、余弦定理是解三角形的重要依據，要給予足夠重視。本節內容安排兩節課適宜。第一節，余弦定理的引出、證明和簡單應用；第二節復習定理內容，加強定理的應用。

　　2、當已知兩邊及一邊對角需要求第三邊時，可利用方程的思想，引出含第三邊為未知量的方程，間接利用余弦定理解決問題，此時應注意解的不唯一性。但是這個問題在本節課講給學生，學生不易理解，可以放在第二課時處理。

　　3、本節課的重點首先是定理的證明，其次才是定理的應用。我們傳統的定理概念教學往往采取的是“掐頭去尾燒中斷”的方法，忽視了定理、概念的形成過程，只是一味的教給學生定理概念的結論或公式，讓學生通過大量的題目去套用這些結論或形式，大搞題海戰術，加重了學生的負擔，效果很差。學生根本沒有掌握住這些定理、概念的形成過程，不能明白知識的來龍去脈，怎么會靈活的應用呢？事實上已經證明，這種生搬硬套、死記硬背式的教學方法和學習方法已經不能適應新課標教育的教學理念。新課標課程倡導：強調過程，重視學生探索新知識的經歷和獲得的新知的體會，不能再讓教學脫離學生的內心感受，把“發現、探究知識”的權利還給學生。

　　4、本節課的教學過程重視學生探究知識的過程，突出了以教師為主導，學生為主體的教學理念。教師通過提供一些可供學生研究的素材，引導學生自己去研究問題，探究問題的結論。在這個過程中，教師應該做到“收放有度”，即：不能收的太緊，剝奪了學生獨立思考、合作學習的意識，更不能采取“放羊式”的教學，對于學生在探究問題中出現的困惑置之不理。

　　5、合理的應用多媒體教學，起到畫龍點睛、提高效率、增強學生對問題感官認識的效果，不能讓教師成為多媒體的奴隸。濫用多媒體教學的后果是將學生上課時的“眼到、手到、口到”變為機械的“眼到”，學生看了一節課的“電影”，沒有充足的時間去思考、練習、鞏固，課后會很快將所學的知識忘得一干二凈。

《余弦定理》教學設計3

　　教材分析這是高三一輪復習，內容是必修5第一章解三角形。本章內容準備復習兩課時。本節課是第一課時。標要求本章的中心內容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后應落實在解三角形的應用上。通過本節學習，學生應當達到以下學習目標：

　　（1）通過對任意三角形邊長和角度關系的探索，掌握正弦定理、余弦定理解三角形。

　　（2）能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法判斷三角形形狀的問題。本章內容與三角函數、向量聯系密切。

　　作為復習課一方面將本章知識作一個梳理，另一方面通過整理歸納幫助學生進一步達到相應的學習目標。

　　學情分析學生通過必修5的學習，對正弦定理、余弦定理的內容已經了解，但對于如何靈活運用定理解決實際問題，怎樣合理選擇定理進行邊角關系轉化從而解決三角形綜合問題，學生還需通過復習提點有待進一步理解和掌握。

　　教學目標知識目標：

　　（1）學生通過對任意三角形邊長和角度關系的探索，掌握正弦、余弦定理的內容及其證明方法；會運用正、余弦定理與三角形內角和定理，面積公式解斜三角形的兩類基本問題。

　　（2）學生學會分析問題，合理選用定理解決三角形綜合問題。

　　能力目標：

　　培養學生提出問題、正確分析問題、獨立解決問題的能力，培養學生在方程思想指導下處理解三角形問題的運算能力，培養學生合情推理探索數學規律的數學思維能力。

　　情感目標：

　　通過生活實例探究回顧三角函數、正余弦定理，體現數學來源于生活，并應用于生活，激發學生學習數學的興趣，并體會數學的應用價值，在教學過程中激發學生的探索精神。

　　教學方法探究式教學、講練結合

　　重點難點

　　1、正、余弦定理的對于解解三角形的合理選擇；

　　2、正、余弦定理與三角形的有關性質的綜合運用。

　　教學策略

　　1、重視多種教學方法有效整合；

　　2、重視提出問題、解決問題策略的指導。

　　3、重視加強前后知識的密切聯系。

　　4、重視加強數學實踐能力的培養。

　　5、注意避免過于繁瑣的形式化訓練

　　6、教學過程體現“實踐→認識→實踐”。

　　設計意圖：

　　學生通過必修5的學習，對正弦定理、余弦定理的內容已經了解，但對于如何靈活運用定理解決實際問題，怎樣合理選擇定理進行邊角關系轉化從而解決三角形綜合問題，學生還需通過復習提點有待進一步理解和掌握。作為復習課一方面要將本章知識作一個梳理，另一方面要通過整理歸納幫助學生學會分析問題，合理選用并熟練運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決三角形綜合問題和實際應用問題。

　　數學思想方法的教學是中學數學教學中的重要組成部分，有利于學生加深數學知識的理解和掌握。雖然是復習課，但我們不能一味的講題，在教學中應體現以下教學思想：

　　⑴重視教學各環節的合理安排：

　　在生活實踐中提出問題，再引導學生帶著問題對新知進行探究，然后引導學生回顧舊知識與方法，引出課題。激發學生繼續學習新知的欲望，使學生的知識結構呈一個螺旋上升的狀態，符合學生的認知規律。

　　⑵重視多種教學方法有效整合，以講練結合法、分析引導法、變式訓練法等多種方法貫穿整個教學過程。

　　⑶重視提出問題、解決問題策略的指導。共3頁，當前第1頁123

　　⑷重視加強前后知識的密切聯系。對于新知識的探究，必須增加足夠的預備知識，做好銜接。要對學生已有的知識進行分析、整理和篩選，把對學生后繼學習中有需要的知識選擇出來，在新知識介紹之前進行復習。

　　⑸注意避免過于繁瑣的形式化訓練。從數學教學的傳統上看解三角形內容有不少高度技巧化、形式化的問題，我們在教學過程中應該注意盡量避免這一類問題的出現。

　　二、實施教學過程

　　（一）創設情境、揭示提出課題

　　引例：要測量南北兩岸a、b兩個建筑物之間的距離，在南岸選取相距a點km的c點，并通過經緯儀測的，你能計算出a、b之間的距離嗎？若人在南岸要測量對岸b、d兩個建筑物之間的距離，該如何進行？

　　（二）復習回顧、知識梳理

　　1．正弦定理：

　　正弦定理的變形：

　　利用正弦定理，可以解決以下兩類有關三角形的問題。

　　（1）已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角；

　　（2）已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角。（從而進一步求出其他的邊和角）

　　2．余弦定理：

　　a2=b2+c2－2bccosa；

　　b2=c2+a2－2cacosb；

　　c2=a2+b2－2abcosc。

　　cosa=；

　　cosb=；

　　cosc=。

　　利用余弦定理，可以解決以下兩類有關三角形的問題：

　　（1）已知三邊，求三個角；

　　（2）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角。

　　3．三角形面積公式：

　　（三）自主檢測、知識鞏固

　　（四）典例導航、知識拓展

　　【例1】 △abc的三個內角a、b、c的對邊分別是a、b、c，如果a2=b（b+c），求證：a=2b。

　　剖析：研究三角形問題一般有兩種思路。一是邊化角，二是角化邊。

　　證明：用正弦定理，a=2rsina，b=2rsinb，c=2rsinc，代入a2=b（b+c）中，得sin2a=sinb（sinb+sinc）sin2a－sin2b=sinbsinc

　　因為a、b、c為三角形的三內角，所以sin（a+b）≠0。所以sin（a－b）=sinb。所以只能有a－b=b，即a=2b。

　　評述：利用正弦定理，將命題中邊的關系轉化為角間關系，從而全部利用三角公式變換求解。

　　思考討論：該題若用余弦定理如何解決？

　　【例2】已知a、b、c分別是△abc的三個內角a、b、c所對的'邊，

　　（1）若△abc的面積為，c=2，a=600，求邊a，b的值；

　　（2）若a=ccosb，且b=csina，試判斷△abc的形狀。

　　（五）變式訓練、歸納整理

　　【例3】已知a、b、c分別是△abc的三個內角a、b、c所對的邊，若bcosc=（2a—c）cosb

　　（1）求角b

　　（2）設，求a+c的值。

　　剖析：同樣知道三角形中邊角關系，利用正余弦定理邊化角或角化邊，從而解決問題，此題所變化的是與向量相結合，利用向量的模與數量積反映三角形的邊角關系，把本質看清了，問題與例2類似解決。

　　此題分析后由學生自己作答，利用實物投影集體評價，再做歸納整理。

　　（解答略）

　　課時小結（由學生歸納總結，教師補充）

　　1、解三角形時，找三邊一角之間的關系常用余弦定理，找兩邊兩角之間的關系常用正弦定理

　　2、根據所給條件確定三角形的形狀，主要有兩種途徑：①化邊為角；②化角為邊。并常用正余弦定理實施邊角轉化。

　　3、用正余弦定理解三角形問題可適當應用向量的數量積求三角形內角與應用向量的模求三角形的邊長。

　　4、應用問題可利用圖形將題意理解清楚，然后用數學模型解決問題。

　　5、正余弦定理與三角函數、向量、不等式等知識相結合，綜合運用解決實際問題。

　　課后作業：

　　材料三級跳

　　創設情境，提出實際應用問題，揭示課題

　　學生在探究問題時發現是解三角形問題，通過問答將知識作一梳理。

　　學生通過課前預熱1、2、3、的快速作答，對正余弦定理的基本運用有了一定的回顧

　　學生探討

　　知識的關聯與拓展

　　正余弦定理與三角形內角和定理，面積公式的綜合運用對學生來說也是難點，尤其是根據條件判斷三角形形狀。此處列舉例2讓學生進一步體會如何選擇定理進行邊角互化。

　　本課是在學生學習了三角函數、平面幾何、平面向量、正弦和余弦定理的基礎上而設置的復習內容，因此本課的教學有較多的處理辦法。從解三角形的問題出發，對學過的知識進行分類，采用的例題是精心準備的，講解也是至關重要的。一開始的復習回顧學生能夠很好的回答正弦定理和余弦定理的基本內容，但對于兩個定理的變形公式不知，也就是說對于公式的應用不熟練。設計中的自主檢測幫助學生回顧記憶公式，對學生更有針對性的進行了訓練。學生還是出現了問題，在遇到第一個正弦方程時，是只有一組解還是有兩組解，這是難點。例1、例2是常規題，讓學生應用數學知識求解問題，可用正弦定理，也可用余弦定理，幫助學生鞏固正弦定理、余弦定理知識。

　　本節課授課對象為高三6班的學生，上課氛圍非常活躍。考慮到這是一節復習課，學生已經知道了定理的內容，沒有經歷知識的發生與推導，所以興趣不夠，較沉悶。奧蘇貝爾指出，影響學習的最重要因素是學生已經知道了什么，我們應當根據學生原有的知識狀況去進行教學。因而，在教學中，教師了解學生的真實的思維活動是一切教學工作的實際出發點。教師應當"接受"和"理解"學生的真實思想，盡管它可能是錯誤的或幼稚的，但卻具有一定的"內在的"合理性，教師不應簡單否定，而應努力去理解這些思想的產生與性質等等，只有真正理解了學生思維的發生發展過程，才能有的放矢地采取適當的教學措施以便幫助學生不斷改進并最終實現自己的目標。由于這種探究課型在平時的教學中還不夠深入，有些學生往往以一種觀賞者的身份參與其中，主動探究意識不強，思維水平沒有達到足夠的提升。這些都是不足之處，比較遺憾。但相信隨著課改實驗的深入，這種狀況會逐步改善。畢竟輕松愉快的課堂是學生思維發展的天地，是合作交流、探索創新的主陣地，是思想教育的好場所。所以新課標下的課堂將會是學生和教師共同成長的舞臺！

《余弦定理》教學設計4

　　一、教學設計

　　1、教學背景

　　在近幾年教學實踐中我們發現這樣的怪現象：絕大多數學生認為數學很重要，但很難；學得很苦、太抽象、太枯燥，要不是升學，我們才不會去理會，況且將來用數學的機會很少；許多學生完全依賴于教師的講解，不會自學，不敢提問題，也不知如何提問題，這說明了學生一是不會學數學，二是對數學有恐懼感，沒有信心，這樣的心態怎能對數學有所創新呢即使有所創新那與學生們所花代價也不成比例，其間扼殺了他們太多的快樂和個性特長。建構主義提倡情境式教學，認為多數學習應與具體情境有關，只有在解決與現實世界相關聯的問題中，所建構的知識才將更豐富、更有效和易于遷移。我們在20xx級進行了“創設數學情境與提出數學問題”的以學生為主的“生本課堂”教學實驗，通過一段時間的教學實驗，多數同學已能適應這種學習方式，平時能主動思考，敢于提出自己關心的問題和想法，從過去被動的接受知識逐步過渡到主動探究、索取知識，增強了學習數學的興趣。

　　2、教材分析

　　“余弦定理”是高中數學的主要內容之一，是解決有關斜三角形問題的兩個重要定理之一，也是初中“勾股定理”內容的直接延拓，它是三角函數一般知識和平面向量知識在三角形中的具體運用，是解可轉化為三角形計算問題的其它數學問題及生產、生活實際問題的重要工具，因此具有廣泛的應用價值。本節課是“正弦定理、余弦定理”教學的第二節課，其主要任務是引入并證明余弦定理。布魯納指出，學生不是被動的、消極的知識的接受者，而是主動的、積極的知識的探究者。教師的作用是創設學生能夠獨立探究的情境，引導學生去思考，參與知識獲得的過程。因此，做好“余弦定理”的教學，不僅能復習鞏固舊知識，使學生掌握新的有用的知識，體會聯系、發展等辯證觀點，而且能培養學生的應用意識和實踐操作能力，以及提出問題、解決問題等研究性學習的能力。

　　3、設計思路

　　建構主義強調，學生并不是空著腦袋走進教室的。在日常生活中，在以往的學習中，他們已經形成了豐富的經驗，小到身邊的衣食住行，大到宇宙、星體的運行，從自然現象到社會生活，他們幾乎都有一些自己的看法。而且，有些問題即使他們還沒有接觸過，沒有現成的經驗，但當問題一旦呈現在面前時，他們往往也可以基于相關的經驗，依靠他們的認知能力，形成對問題的某種解釋。而且，這種解釋并不都是胡亂猜測，而是從他們的經驗背景出發而推出的合乎邏輯的假設。所以，教學不能無視學生的這些經驗，另起爐灶，從外部裝進新知識，而是要把學生現有的知識經驗作為新知識的生長點，引導學生從原有的知識經驗中“生長”出新的知識經驗。

　　為此我們根據“情境—問題”教學模式，沿著“設置情境—提出問題—解決問題—反思應用”這條主線，把從情境中探索和提出數學問題作為教學的出發點，以“問題”為紅線組織教學，形成以提出問題與解決問題相互引發攜手并進的“情境—問題”學習鏈，使學生真正成為提出問題和解決問題的主體，成為知識的“發現者”和“創造者”，使教學過程成為學生主動獲取知識、發展能力、體驗數學的過程。根據上述精神，做出了如下設計：

　　①創設一個現實問題情境作為提出問題的背景；

　　②啟發、引導學生提出自己關心的現實問題，逐步將現實問題轉化、抽象成過渡性數學問題，解決問題時需要使用余弦定理，借此引發學生的認知沖突，揭示解斜三角形的必要性，并使學生產生進一步探索解決問題的動機。然后引導學生抓住問題的數學實質，引伸成一般的數學問題：已知三角形的兩條邊和他們的夾角，求第三邊。

　　③為了解決提出的問題，引導學生從原有的'知識經驗中“生長”出新的知識經驗，通過作邊BC的垂線得到兩個直角三角形，然后利用勾股定理和銳角三角函數得出余弦定理的表達式，進而引導學生進行嚴格的邏輯證明。證明時，關鍵在于啟發、引導學生明確以下兩點：一是證明的起點；二是如何將向量關系轉化成數量關系。

　　④由學生獨立使用已證明的結論去解決中所提出的問題。

　　二、教學反思

　　本課中，教師立足于所創設的情境，通過學生自主探索、合作交流，親身經歷了提出問題、解決問題、應用反思的過程，學生成為余弦定理的“發現者”和“創造者”，切身感受了創造的苦和樂，知識目標、能力目標、情感目標均得到了較好的落實，為今后的“定理教學”提供了一些有用的借鑒。

　　例如，新課的引入，我引導學生從向量的模下手思考：

　　生：利用向量的模并借助向量的數量積。

　　教師：正確！由于向量的模長，夾角已知，只需將向量用向量來表示即可。易知，接下來只要把這個向量等式數量化即可。如何實現呢

　　學生：通過向量數量積的運算。

　　通過教師的引導，學生不難發現還可以寫成，不共線，這是平面向量基本定理的一個運用。因此在一些解三角形問題中，我們還可以利用平面向量基本定理尋找向量等式，再把向量等式化成數量等式，從而解決問題。

　　（從學生的“最近發展區”出發，證明方法層層遞進，激發學生探求新知的欲望，從而感受成功的喜悅。）

　　創設數學情境是“情境·問題·反思·應用”教學的基礎環節，教師必須對學生的身心特點、知識水平、教學內容、教學目標等因素進行綜合考慮，對可用的情境進行比較，選擇具有較好的教育功能的情境。

　　從應用需要出發，創設認知沖突型數學情境，是創設情境的常用方法之一。“余弦定理”具有廣泛的應用價值，故本課中從應用需要出發創設了教學中所使用的數學情境。該情境源于教材解三角形應用舉例的例1實踐說明，這種將教材中的例題、習題作為素材改造加工成情境，是創設情境的一條有效途徑。只要教師能對教材進行深入、細致、全面的研究，便不難發現教材中有不少可用的素材。

　　“情境·問題·反思·應用”教學模式主張以問題為“紅線”組織教學活動，以學生作為提出問題的主體，如何引導學生提出問題是教學成敗的關鍵，教學實驗表明，學生能否提出數學問題，不僅受其數學基礎、生活經歷、學習方式等自身因素的影響，還受其所處的環境、教師對提問的態度等外在因素的制約。因此，教師不僅要注重創設適宜的數學情境（不僅具有豐富的內涵，而且還具有“問題”的誘導性、啟發性和探索性），而且要真正轉變對學生提問的態度，提高引導水平，一方面要鼓勵學生大膽地提出問題，另一方面要妥善處理學生提出的問題。關注學生學習的結果，更關注學生學習的過程；關注學生數學學習的水平，更關注學生在數學活動中所表現出來的情感與態度；關注是否給學生創設了一種情境，使學生親身經歷了數學活動過程。把“質疑提問”，培養學生的數學問題意識，提高學生提出數學問題的能力作為教與學活動的起點與歸宿。

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