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中考數學解題方法及技巧

時間:2022-03-31 15:30:33 科普知識 我要投稿

中考數學解題方法及技巧

  1.求證“兩線段相等”的問題:

中考數學解題方法及技巧

  2.“平行于y軸的動線段長度的值”的問題:

  由于平行于y軸的線段上各個點的橫坐標相等(常設為t),借助于兩個端點所在的函數圖象解析式,把兩個端點的縱坐標分別用含有字母t的代數式表示出來,再由兩個端點的高低情況,運用平行于y軸的線段長度計算公式,把動線段的長度就表示成為一個自變量為t,且開口向下的二次函數解析式,利用二次函數的性質,即可求得動線段長度的值及端點坐標。

  3.求一個已知點關于一條已知直線的對稱點的坐標問題:

  先用點斜式(或稱K點法)求出過已知點,且與已知直線垂直的直線解析式,再求出兩直線的交點坐標,最后用中點坐標公式即可。

  4.“拋物線上是否存在一點,使之到定直線的距離”的問題:

  (方法1)先求出定直線的斜率,由此可設出與定直線平行且與拋物線相切的直線的解析式(注意該直線與定直線的斜率相等,因為平行直線斜率(k)相等),再由該直線與拋物線的解析式組成方程組,用代入法把字母y消掉,得到一個關于x的的一元二次方程,由題有△=-4ac=0(因為該直線與拋物線相切,只有一個交點,所以-4ac=0)從而就可求出該切線的解析式,再把該切線解析式與拋物線的解析式組成方程組,求出x、y的值,即為切點坐標,然后再利用點到直線的距離公式,計算該切點到定直線的距離,即為距離。

  (方法2)該問題等價于相應動三角形的面積問題,從而可先求出該三角形取得面積時,動點的坐標,再用點到直線的距離公式,求出其距離。

  (方法3)先把拋物線的方程對自變量求導,運用導數的幾何意義,當該導數等于定直線的斜率時,求出的點的坐標即為符合題意的點,其距離運用點到直線的距離公式可以輕松求出。

  5.常數問題:

  (1)點到直線的距離中的常數問題:

  “拋物線上是否存在一點,使之到定直線的距離等于一個固定常數”的問題:

  先借助于拋物線的解析式,把動點坐標用一個字母表示出來,再利用點到直線的距離公式建立一個方程,解此方程,即可求出動點的橫坐標,進而利用拋物線解析式,求出動點的縱坐標,從而拋物線上的動點坐標就求出來了。

  (2)三角形面積中的常數問題:

  “拋物線上是否存在一點,使之與定線段構成的動三角形的面積等于一個定常數”的問題:

  先求出定線段的長度,再表示出動點(其坐標需用一個字母表示)到定直線的距離,再運用三角形的面積公式建立方程,解此方程,即可求出動點的橫坐標,再利用拋物線的解析式,可求出動點縱坐標,從而拋物線上的動點坐標就求出來了。

  6.“在定直線(常為拋物線的對稱軸,或x軸或y軸或其它的定直線)上是否存在一點,使之到兩定點的距離之和最小”的問題:

  先求出兩個定點中的任一個定點關于定直線的對稱點的坐標,再把該對稱點和另一個定點連結得到一條線段,該線段的長度〈應用兩點間的距離公式計算〉即為符合題中要求的最小距離,而該線段與定直線的交點就是符合距離之和最小的點,其坐標很易求出(利用求交點坐標的方法)。

  7.三角形周長的“最值(值或最小值)”問題:

  “在定直線上是否存在一點,使之和兩個定點構成的三角形周長最小”的問題(簡稱“一邊固定兩邊動的問題):

  由于有兩個定點,所以該三角形有一定邊(其長度可利用兩點間距離公式計算),只需另兩邊的和最小即可。

  8.三角形面積的值問題:

  ①“拋物線上是否存在一點,使之和一條定線段構成的三角形面積”的問題(簡稱“一邊固定兩邊動的問題”):

  (方法1)先利用兩點間的距離公式求出定線段的長度;然后再利用上面3的方法,求出拋物線上的動點到該定直線的距離。最后利用三角形的面積公式底·高1/2。即可求出該三角形面積的值,同時在求解過程中,切點即為符合題意要求的點。

  (方法2)過動點向y軸作平行線找到與定線段(或所在直線)的交點,從而把動三角形分割成兩個基本模型的三角形,動點坐標一母示后,進一步可得到

  轉化為一個開口向下的二次函數問題來求出值。

  ②“三邊均動的動三角形面積”的問題(簡稱“三邊均動”的問題):

  先把動三角形分割成兩個基本模型的三角形(有一邊在x軸或y軸上的三角形,或者有一邊平行于x軸或y軸的三角形,稱為基本模型的三角形)面積之差,設出動點在x軸或y軸上的點的坐標,而此類題型,題中一定含有一組平行線,從而可以得出分割后的一個三角形與圖中另一個三角形相似(常為圖中的那一個三角形)。利用相似三角形的性質(對應邊的比等于對應高的比)可表示出分割后的一個三角形的高。從而可以表示出動三角形的面積的一個開口向下的二次函數關系式,相應問題也就輕松解決了。

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