【推薦】《余弦定理》教學設計

　　作為一名優秀的教育工作者，就難以避免地要準備教學設計，教學設計是連接基礎理論與實踐的橋梁，對于教學理論與實踐的緊密結合具有溝通作用。教學設計應該怎么寫才好呢？以下是小編整理的《余弦定理》教學設計，供大家參考借鑒，希望可以幫助到有需要的朋友。

　　一、 教學內容解析

　　人教版《普通高中課程標準實驗教科書·必修（五）》（第2版）第一章《解三角形》第一單元第二課《余弦定理》。余弦定理是繼正弦定理教學之后又一關于三角形的邊角關系準確量化的一個重要定理。通過利用向量的數量積方法推導余弦定理，正確理解其結構特征和表現形式，解決“邊、角、邊”和“邊、邊、邊”問題，初步體會余弦定理解決“邊、邊、角”，體會方程思想，激發學生探究數學，應用數學的潛能,從而進一步運用它們解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題，使學生能更深地體會數學來源于生活，數學服務于生活。

　　二、學生學習情況分析

　　本課之前，學生已經學習了三角函數、向量基本知識和正弦定理有關內容，對于三角形中的邊角關系有了較進一步的認識。在此基礎上利用向量方法探求余弦定理，學生已有一定的學習基礎和學習興趣。總體上學生應用數學知識的意識不強，創造力較弱，看待與分析問題不深入，知識的系統性不完善，使得學生在余弦定理推導方法的探求上有一定的難度，在發掘出余弦定理的結構特征、表現形式的數學美時，能夠激發學生熱愛數學的思想感情；從具體問題中抽象出數學的本質，應用方程的思想去審視，解決問題是學生學習的一大難點。

　　三、設計思想

　　新課程的數學提倡學生動手實踐，自主探索，合作交流，深刻地理解基本結論的本質，體驗數學發現和創造的歷程，力求對現實世界蘊涵的一些數學模式進行思考，作出判斷；同時要求教師從知識的傳授者向課堂的設計者、組織者、引導者、合作者轉化，從課堂的執行者向實施者、探究開發者轉化。本課盡力追求新課程要求，利用師生的互動合作，提高學生的數學思維能力，發展學生的數學應用意識和創新意識，深刻地體會數學思想方法及數學的應用，激發學生探究數學、應用數學知識的潛能。

　　四、 教學目標解析

　　1、使學生掌握余弦定理及推論，并會初步運用余弦定理及推論解三角形。

　　2、通過對三角形邊角關系的探究，能證明余弦定理，了解從三角方法、解析方法、向量方法和正弦定理等途徑證明余弦定理。

　　3、在發現和證明余弦定理中，通過聯想、類比、轉化等思想方法比較證明余弦定理的不同方法，從而培養學生的發散思維。

　　4、能用余弦定理解決生活中的實際問題，可以培養學生學習數學的興趣，使學生進一步認識到數學是有用的。

　　五、 教學問題診斷分析

　　1、通過前一節正弦定理的學習，學生已能解決這樣兩類解三角形的問題：

　　①已知三角形的任意兩個角與邊，求其他兩邊和另一角；

　　②已知三角形的任意兩個角與其中一邊的對角，計算另一邊的對角，進而計算出其他的邊和角。

　　而在已知三角形兩邊和它們的夾角，計算出另一邊和另兩個角的問題上，學生產生了認知沖突，這就迫切需要他們掌握三角形邊角關系的另一種定量關系。所以，教學的重點應放在余弦定理的發現和證明上。

　　2、在以往的教學中存在學生認知比較單一，對余弦定理的證明方法思考也比較單一，而本節的教學難點就在于余弦定理的證明。如何啟發、引導學生經過聯想、類比、轉化多角度地對余弦定理進行證明，從而突破這一難點。

　　3、學習了正弦定理和余弦定理，學生在解三角形中，如何適當地選擇定理以達到更有效地解題，也是本節內容應該關注的問題，特別是求某一個角有時既可以用余弦定理，也可以用正弦定理時，教學中應注意讓學生能理解兩種方法的利弊之處，從而更有效地解題。

　　六、 教學支持條件分析

　　為了將學生從繁瑣的計算中解脫出來，將精力放在對定理的證明和運用上，所以本節中復雜的計算借助計算器來完成。當使用計算器時，約定當計算器所得的三角函數值是準確數時用等號，當取其近似值時，相應的運算采用約等號。但一般的代數運算結果按通常的運算規則，是近似值時用約等號。

　　七、 教學過程設計

　　1、教學基本流程：

　　①從一道生活中的實際問題的解決引入問題，如何用已知的兩條邊及其所夾的角來表示第三條邊。

　　②余弦定理的證明：啟發學生從不同的角度得到余弦定理的證明，或引導學生自己探索獲得定理的證明。

　　③應用余弦定理解斜三角形。

　　2、教學情景：

　　①創設情境，提出問題

　　問題1：現有卷尺和測角儀兩種工具，請你設計合理的方案，來測量學校前生物島邊界上兩點的最大距離（如圖1所示，圖中AB的長度）。

　　【設計意圖】：來源于生活中的問題能激發學生的學習興趣，提高學習積極性。讓學生進一步體會到數學來源于生活，數學服務于生活。

　　師生活動：教師可以采取小組合作的形式，讓學生設計方案嘗試解決。

　　學生1—方案1：如果卷尺足夠長的話，可以在島對岸小路上取一點C（如圖2），用卷尺量出AC和BC的長，用測角儀測出∠ACB的大小， 那么△ABC的大小就可以確定了。感覺似乎在△ABC中已知AC、BC的長及夾角C的大小，可以求AB的長了。

　　其他學生有異議，若卷尺沒有足夠長呢？

　　學生2—方案2：在島對岸可以取C、D 兩點（如圖3），用卷尺量出CD的長，再用測角儀測出圖中∠1、∠2、∠3、∠4的大小。在△ACD中，已知∠ACD、∠ADC及CD，可以用正弦定理求AC，同理在△BCD中，用正弦定理求出BC。那么在△ABC中，已知AC、BC及∠ACB，似乎可以求AB的長了。

　　教師：兩種方案歸根到底都是已知三角形兩邊及夾角，求第三邊的問題。能否也象正弦定理那樣，尋找它們之間的某種定量關系？

　　【設計意圖】給學生足夠的空間和展示的平臺，充分發揮學生的主體地位。

　　②求異探新，證明定理

　　問題2：你能判斷下列三角形的類型嗎？

　　1、以3，4，5為各邊長的三角形是_____三角形

　　以2，3，4為各邊長的三角形是_____三角形

　　以4，5，6為各邊長的三角形是_____三角形 2、在△ABC中a=8，b=5，∠c=60°，你能求c邊長嗎？

　　【設計意圖】：幫助學生分析相關內容，從多角度看待問題，用實踐進行檢驗。師生活動：引導學生從特殊入手，用已有的初中所學的平面幾何的有關知識來研究這一問題，從而尋找出這些量之間存在的某種定量關系。

　　問題3：你能夠有更好的具體的量化方法嗎？

　　幫助學生從平面幾何、三角函數、向量知識、坐標法等方面進行分析討論，選擇簡潔的處理工具，引發學生的積極討論。

　　【設計意圖】：引導學生從相關知識入手，選擇簡潔的工具。

　　學生3：在△ABC中，如圖4，過C作CD⊥AB，垂足為D。

　　在Rt△ACD中，AD=bsin∠1,CD= bcos∠1;

　　在Rt△BCD中，BD=asin∠2, CD=acos∠2;

　　學生4：如圖5，過A作AD⊥BC，垂足為D。

　　學生5：如圖5，AD = bsinC，CD = bcosC，2 22 2 2∴c=（bsinC）+（a- bcosC）= a+b-2abcosC

　　2 2 22 2 2類似地可以證明b= a+c-2accosB，c= a+b-2abcosC。

　　教師總結：以上的證明都是把斜三角形轉化為兩個直角三角形，化一般為特殊，再利用勾股定理來證明。并且進一步指出以上的證明還不嚴密，還要分∠C為鈍角或直角時，同樣都可以得出以上結論，這也正是本節課的重點—余弦定理。

　　【設計意圖】：首先肯定學生成果，進一步的追問以上思路是否完整，可以使學生的思維更加嚴密。

　　師生活動：得出了余弦定理，教師還應引導學生聯想、類比、轉化，思考是否還有其他方法證明余弦定理。

　　教師：在前面學習正弦定理的證明過程種，我們用向量法比較簡便地證明了正弦定理，那么在余弦定理的證明中，你會有什么想法？

　　【設計意圖】：通過類比、聯想，讓學生的思維水平得到進一步鍛煉和提高，體驗到成功的樂趣。

　　學生6：如圖6，教師：以上的證明避免了討論∠C是銳角、鈍角或直角，思路簡潔明了，過程簡單，體現了向量工具的作用。又向量可以用坐標表示，AB長度又可以聯系到平面內兩點間的距離公式，你會有什么啟發？

　　【設計意圖】：由向量又聯想到坐標，引導學生從直角坐標中用解析法證明定理。

　　學生7：如圖7，建立直角坐標系，在△ABC中，AC = b，BC = a .

　　且A（b，0），B（acosC，asinC），C（0，0），　　【設計意圖】：通過以上平面幾何知識、向量法、解析法引導學生體會證明余弦定理，更好地讓學生主動投入到整個數學學習的過程中，培養學生發散思維能力，拓展學生思維空間的深度和廣度。

　　【歸納概括】：余弦定理：

　　三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。

　　【設計意圖】：知識歸納比較，發現特征，加強識記

　　【結構分析】：觀察余弦定理，指明了三邊長與其中一角的具體關系，并發現a與A，b與B，C與c之間的對應表述，同時發現三邊長的平方在余弦定理中同時出現。 【知識聯系】：余弦定理的推論：

　　【設計意圖】：在學生探究數學美，欣賞美的過程中，體會數學造化之神奇，學生可以興趣盎然地掌握公式特征、結構及其他變式。

　　③運用定理，解決問題

　　讓學生觀察余弦定理及推論的構成形式，思考用余弦定理及推論可以解決那些類型的三角形問題。

　　例1：①在△ABC中，已知a = 2，b = 3，∠C = 60°，求邊c。

　　②在△ABC中，已知a = 7，b = 3，c = 5，求A、B、C。

　　【設計意圖】：讓學生理解余弦定理及推論解決兩類最基本問題，既①已知三角形兩邊及夾角，求第三邊；②已知三角形三邊，求三內角。

　　例2：已知△ABC中求c邊長

　　分析：（1）用正弦定理分析引導

　　（2）應用余弦定理構造關于C的方程求解。

　　（3）比較兩種方法的利弊。能用正弦定理解決的問題均可以用余弦定理解決，更具有優越性。

　　④練習檢測：

　　1、某人站在山頂向下看一列車隊向山腳駛來，他看見第一輛車與第二輛車的俯角差等于他看見第二輛與第三輛車的俯角差，則第一輛車與第二輛車的距離與第二輛車的距離之間關系為（ ）

　　A：> B：=

　　C：< D：大小不確定

　　2、銳角△ABC中b=1，c=2，則a取值為（ ）

　　A：（1,3） B：（1,）

　　C：（，2） D：（，）

　　3、在△ABC中若有，你能判斷這個三角形的形狀嗎？

　　若呢？

　　3、小結

　　本節課的主要內容是余弦定理的證明，從平面幾何、向量、坐標等各個不同的方面進行探究，得出的余弦定理無論在什么形狀的三角形中都成立，勾股定理也只不過是它的特例。所以它很“完美”，從式子上又可以看出其具“簡捷、和諧、對稱”的美，其變式即推論也很協調。

　　4、作業

　　第1題：用正弦定理證明余弦定理。

　　【設計意圖】：繼續要求學生擴寬思路，用正弦定理把余弦定理中的邊都轉化成角，然后利用三角公式進行推導證明。而這種把邊轉化為角、或把角轉化為邊的思想正是我們解決三角形問題中的一種非常重要的思想方法。

　　第2題：在△ABC中，已知，求角A和C和邊c。

　　【設計意圖】：本題可以通過正弦定理和余弦定理來求解，讓學生體會兩種定理在解三角形問題上的利弊。運用正弦定理求角可能會漏解，運用余弦定理求角不會漏解，但是計算可能較繁瑣。

　　5、板書設計：

　　1、推導余弦定理及其推論

　　2、例1、例2

　　3、練習指導

　　4、小結投影正弦、余弦定理，比較它們理解知識

　　八：教學反思

　　1、余弦定理是解三角形的重要依據，要給予足夠重視。本節內容安排兩節課適宜。第一節，余弦定理的引出、證明和簡單應用；第二節復習定理內容，加強定理的應用。

　　2、當已知兩邊及一邊對角需要求第三邊時，可利用方程的思想，引出含第三邊為未知量的方程，間接利用余弦定理解決問題，此時應注意解的不唯一性。但是這個問題在本節課講給學生，學生不易理解，可以放在第二課時處理。

　　3、本節課的重點首先是定理的證明，其次才是定理的應用。我們傳統的定理概念教學往往采取的是“掐頭去尾燒中斷”的方法，忽視了定理、概念的形成過程，只是一味的教給學生定理概念的結論或公式，讓學生通過大量的題目去套用這些結論或形式，大搞題海戰術，加重了學生的負擔，效果很差。學生根本沒有掌握住這些定理、概念的形成過程，不能明白知識的來龍去脈，怎么會靈活的應用呢？事實上已經證明，這種生搬硬套、死記硬背式的教學方法和學習方法已經不能適應新課標教育的教學理念。新課標課程倡導：強調過程，重視學生探索新知識的經歷和獲得的新知的體會，不能再讓教學脫離學生的內心感受，把“發現、探究知識”的權利還給學生。

　　4、本節課的教學過程重視學生探究知識的過程，突出了以教師為主導，學生為主體的教學理念。教師通過提供一些可供學生研究的素材，引導學生自己去研究問題，探究問題的結論。在這個過程中，教師應該做到“收放有度”，即：不能收的太緊，剝奪了學生獨立思考、合作學習的意識，更不能采取“放羊式”的教學，對于學生在探究問題中出現的困惑置之不理。

　　5、合理的應用多媒體教學，起到畫龍點睛、提高效率、增強學生對問題感官認識的效果，不能讓教師成為多媒體的奴隸。濫用多媒體教學的后果是將學生上課時的“眼到、手到、口到”變為機械的“眼到”，學生看了一節課的“電影”，沒有充足的時間去思考、練習、鞏固，課后會很快將所學的知識忘得一干二凈。

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